描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
第一类错误发生在研究者：
- A没有拒绝一个错误的零假设
- B使用了错误的统计检验
- C拒绝了一个实际上为真的零假设
- D收集了过多的数据
2.心理学研究方法困难
一项"智力"测验主要测量的是人们打字有多快。最明显缺乏的是哪种效度？
- A内部一致性
- B评分者间信度
- C结构效度
- D重测信度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：48, 52, 51, 40, 38。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。求成绩 188 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 12x = 188
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.1, 0.35, 0.3, 0.25
Var(X) =
6.概率困难
测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.3
P =
7.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 169.95 和 185 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 169.95x2 = 185
P =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分25%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 8 个个体的样本，均值为 83.5，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 8x̄ = 83.5s = 19.590%t(7) = 1.895
E =
10.置信区间困难
20 根机加工轴的直径样本标准差为 5.2 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 19 时，χ² 分布有 2.5% 位于 8.907 以下，2.5% 位于 32.852 以上。
n = 20s = 5.2 µmχ² = 8.907, 32.852
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 10。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 98.42。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ < 100。求 p 值 p。
μ₀ = 100σ = 10n = 100x̄ = 98.42H₁: μ < μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 20。实际上均值为 92.5。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 92.5σ = 20n = 64α = 0.05
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2 时的 ŷ。
n = 6x = 2
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 4 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 拒绝了一个实际上为真的零假设
为什么是这个答案
第一类错误是声称存在一个并不存在的效应，其概率等于显著性水平（常为 0.05）。第二类错误是漏掉了真实的效应。
答案
C · 拒绝了一个实际上为真的零假设
2.心理学研究方法
答案: C · 结构效度
为什么是这个答案
结构效度是指一个测量是否真正反映了其背后的结构。一个测验可以很可靠，却测量了错误的东西。
答案
C · 结构效度
3.描述统计
答案: s = 6.419
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 229/5 = 45.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = 2.2² + 6.2² + 5.2² + (−5.8)² + (−7.8)² = 164.8
标准差
s = √(164.8/4) = 6.419
答案
s = 6.419
4.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (188 − 170)/12 = 1.5
答案
z = 1.5
5.概率
答案: Var(X) = 3.64
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.1 + 2·0.35 + 4·0.3 + 6·0.25 = 3.4
平方的均值
E(X²) = 0·0.1 + 4·0.35 + 16·0.3 + 36·0.25 = 15.2
方差
Var(X) = 15.2 − 3.4² = 3.64
答案
Var(X) = 3.64
6.概率
答案: P = 0.113
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.711 = 0.01977
P(X = 1) = 11·0.3·0.710 = 0.09322
相加
P = 0.01977 + 0.09322 = 0.113
答案
P = 0.113
7.正态分布
答案: P = 0.7163
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (169.95 − 178)/7 = −1.15
z₂ = (185 − 178)/7 = 1
中间面积
P = Φ(1) − Φ(−1.15) = 0.8413 − 0.1251 = 0.7163
答案
P = 0.7163
8.正态分布
答案: x = 71.7 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 65 + 0.67·10 = 71.7 分
答案
x = 71.7 分
9.置信区间
答案: E = 13.06
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 7, t = 1.895
误差范围
E = 1.895·19.5/√8 = 13.06
答案
E = 13.06
10.置信区间
答案: σ = 3.955 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 19·5.2² = 513.8
σ² 的限值
513.8/32.852 = 15.64
513.8/8.907 = 57.68
σ 的限值
σ = √15.64 = 3.955 µm
答案
σ = 3.955 µm
σ 的 95% 区间：[3.955, 7.595] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.05705
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (98.42 − 100)/1 = −1.58
尾部面积
Φ(1.58) = 0.9429
1 − Φ(1.58) = 0.0571
p 值
p = 0.05705
答案
p = 0.05705
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 91.23 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 100 − 1.645·2.5 = 95.89
真实均值下的 z
z = (95.89 − 92.5)/2.5 = 1.355
功率
功效 = P(Z < 1.355) = 91.23%
1 − β = 91.23%
答案
1 − β = 91.23%
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9594
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 69/5 = 13.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72
Syy = Σ(y − ȳ)² = 140.8
相关系数
r = 72/√(40·140.8) = 0.9594
答案
r = 0.9594
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 55.03
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 492/6 = 82
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 472
回归直线
b = 472/70 = 6.743
a = 82 − 6.743·6 = 41.54
ŷ = 41.54 + 6.743·x
预测
ŷ = 41.54 + 6.743·2 = 55.03
答案
ŷ = 55.03
15.卡方检验
答案: χ² = 17.98
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 80·48/160 = 24, 80·48/160 = 24, 80·64/160 = 32
农村: 80·48/160 = 24, 80·48/160 = 24, 80·64/160 = 32
卡方统计量
χ² = (19 − 24)²/24 + (16 − 24)²/24 + (45 − 32)²/32 + (29 − 24)²/24 + (32 − 24)²/24 + (19 − 32)²/32
χ² = 17.98
答案
χ² = 17.98
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 7.815
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 = 3
表
χ²crit(df = 3, α = 0.05) = 7.815
答案
χ²crit = 7.815
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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