描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
平均数 50 的 95% 置信区间为 46 到 54。最准确的解释是什么？
- A样本平均数为 50 的概率是 95%
- B样本中 95% 的个体参与者在该测量上得分在 46 到 54 之间
- C结果不显著
- D所用的程序产生的区间有 95% 的时候包含真实平均数
2.心理学研究方法困难
一名研究者使用问卷、访谈和观察来研究工作压力，各项发现相互一致。这种方法称为：
- A三角验证
- B分层
- C重复研究
- D平衡抵消
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：41, 47, 54, 27, 24, 40, 18。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。求成绩 58 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 10x = 58
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.15, 0.3, 0.25
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.3 赢得 €6，以概率 0.05 赢得 €60；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €3€6: p = 0.3€60: p = 0.05
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6424。求 z，保留两位小数。
A = 0.6424
z =
8.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 85% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分85%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 13 个个体的样本，均值为 90，标准差 s = 3.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 13x̄ = 90s = 3.595%t(12) = 2.179
E =
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.15 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p ≈ 0.15E = 0.02590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 53.6，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 53.6s = 12n = 16
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 8。实际上均值为 47.8。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 50μ = 47.8σ = 8n = 64α = 0.10
β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 95Σy = 468Σx² = 1845Σy² = 45678Σxy = 9158
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 17？
n = 5ŷ = 17
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 所用的程序产生的区间有 95% 的时候包含真实平均数
为什么是这个答案
95% 置信区间给出总体参数的一系列可信值。区间越窄（来自更大的样本），估计越精确。
答案
D · 所用的程序产生的区间有 95% 的时候包含真实平均数
2.心理学研究方法
答案: A · 三角验证
为什么是这个答案
三角验证使用多种方法、来源或研究者。它们之间的一致提高了对研究结果效度的信心。
答案
A · 三角验证
3.描述统计
答案: s = 13.13
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 251/7 = 35.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = 5.143² + 11.14² + 18.14² + (−8.857)² + (−11.86)² + 4.143² + (−17.86)² = 1035
标准差
s = √(1035/6) = 13.13
答案
s = 13.13
4.描述统计
答案: z = −1.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (58 − 70)/10 = −1.2
答案
z = −1.2
5.概率
答案: σ = 2.324
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 2·0.15 + 4·0.3 + 6·0.25 = 3
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 4·0.15 + 16·0.3 + 36·0.25 = 14.4
方差
Var(X) = 14.4 − 3² = 5.4
σ = √5.4 = 2.324
答案
σ = 2.324
6.概率
答案: E(G) = 1.8 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 3 (p = 0.3), 57 (p = 0.05), −3 (p = 0.65)
期望值
E(G) = 3·0.3 + 57·0.05 − 3·0.65 = 1.8 €
答案
E(G) = 1.8 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: z = 0.92
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.6424)/2 = 0.8212
反向查 z 表
在表中找到 0.8212，读出 z。
z = 0.92
答案
z = 0.92
8.正态分布
答案: x = 84.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 100 − 1.04·15 = 84.4 分
答案
x = 84.4 分
9.置信区间
答案: E = 2.115
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 12, t = 2.179
误差范围
E = 2.179·3.5/√13 = 2.115
答案
E = 2.115
10.置信区间
答案: n = 553
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.15·0.85/0.025² = 552
向上取整
n = 553
答案
n = 553
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
检验统计量
t = (53.6 − 50)/3 = 1.2
答案
t = 1.2
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: β = 17.93 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 50 − 1.282·1 = 48.72
真实均值下的 z
z = (48.72 − 47.8)/1 = 0.918
第二类错误
功效 = P(Z < 0.918) = 82.07%
β = 100% − 82.07% = 17.93%
答案
β = 17.93%
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9718
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 9158 − 95·468/5 = 266
Sxx = 1845 − 95²/5 = 40
Syy = 45678 − 468²/5 = 1873
相关系数
r = 266/√(40·1873) = 0.9718
答案
r = 0.9718
14.线性回归与相关
答案: x = 4.294
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 96/5 = 19.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
回归直线
b = −17/10 = −1.7
a = 19.2 − (−1.7)·3 = 24.3
ŷ = 24.3 − 1.7·x
解出 x
x = (17 − 24.3)/(−1.7) = 4.294
答案
x = 4.294
15.卡方检验
答案: χ² = 15.87
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 40·112/160 = 28, 40·48/160 = 12
不吸烟者: 120·112/160 = 84, 120·48/160 = 36
卡方统计量
χ² = (18 − 28)²/28 + (22 − 12)²/12 + (94 − 84)²/84 + (26 − 36)²/36
χ² = 15.87
答案
χ² = 15.87
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 0.3993
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 24, 36
31–50 岁: 32, 48
51 岁及以上: 24, 36
卡方统计量
χ² = (22 − 24)²/24 + (38 − 36)²/36 + (33 − 32)²/32 + (47 − 48)²/48 + (25 − 24)²/24 + (35 − 36)²/36
χ² = 0.3993
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
0.3993 < 9.210
答案
χ² = 0.3993
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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