描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
第一类错误发生在研究者：
- A使用了错误的统计检验
- B收集了过多的数据
- C没有拒绝一个错误的零假设
- D拒绝了一个实际上为真的零假设
2.心理学研究方法困难
一项研究发现睡眠多的学生成绩更高。哪种设计改变最能支持因果结论？
- A调查更多学生
- B把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
- C让学生报告两次睡眠情况，并取两次报告的平均值
- D更准确地测量成绩
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：43, 45, 39, 32, 49, 18。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。求成绩 76 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 20x = 76
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.3, 0.25, 0.3
σ =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.35, 0.35, 0.05Y = −2X − 3
σY =
7.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 30 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 30 min
P =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 95% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分95%
x = 分
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 105.5 h，已知标准差 15 h。型号 2：80 部手机，均值 110.5 h，已知标准差 13 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 40x̄₁ = 105.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 80x̄₂ = 110.5 hσ₂ = 13 h99%
E = h
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.7 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.05？
p ≈ 0.7E = 0.0590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 497.4，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 497.4s = 10n = 49
t =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 75 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 115 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 75n₁ = 150x₂ = 115n₂ = 250
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 130Σx² = 220Σy² = 3886Σxy = 922
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 51？
n = 5ŷ = 51
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，低”的期望频数 E。
行合计 = 53列合计 = 45N = 127
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 4 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 4
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 拒绝了一个实际上为真的零假设
为什么是这个答案
第一类错误是声称存在一个并不存在的效应，其概率等于显著性水平（常为 0.05）。第二类错误是漏掉了真实的效应。
答案
D · 拒绝了一个实际上为真的零假设
2.心理学研究方法
答案: B · 把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
为什么是这个答案
只有通过随机分配来操纵睡眠，才能控制第三变量，并在伦理允许的范围内做出因果推断。
答案
B · 把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
3.描述统计
答案: s = 11.24
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 226/6 = 37.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = 5.333² + 7.333² + 1.333² + (−5.667)² + 11.33² + (−19.67)² = 631.3
标准差
s = √(631.3/5) = 11.24
答案
s = 11.24
4.描述统计
答案: z = −1.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (76 − 100)/20 = −1.2
答案
z = −1.2
5.概率
答案: σ = 2.107
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.15 + 2·0.3 + 4·0.25 + 6·0.3 = 3.4
平方的均值
E(X²) = 0·0.15 + 4·0.3 + 16·0.25 + 36·0.3 = 16
方差
Var(X) = 16 − 3.4² = 4.44
σ = √4.44 = 2.107
答案
σ = 2.107
6.概率
答案: σY = 3.487
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.4, Var(X) = 3.04, σX = 1.744
线性变换
σY = |−2|·1.744 = 3.487
答案
σY = 3.487
均值确实会改变：E(Y) = −2·2.4 − 3 = −7.8。
7.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (30 − 32)/2.5 = −0.8
上尾
P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881
答案
P = 0.7881
8.正态分布
答案: x = 81.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.95
由表得到的 z
z ≈ 1.64
回到原来的单位
x = 65 + 1.64·10 = 81.4 分
答案
x = 81.4 分
9.置信区间
答案: E = 7.165 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 105.5 − 110.5 = −5
标准误
SE = √(15²/40 + 13²/80) = 2.782
误差范围
E = 2.576·2.782 = 7.165
答案
E = 7.165 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
10.置信区间
答案: n = 228
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.7·0.3/0.05² = 227.3
向上取整
n = 228
答案
n = 228
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.82
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429
检验统计量
t = (497.4 − 500)/1.429 = −1.82
答案
t = −1.82
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: z = 0.7756
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 75/150 = 0.5
p̂₂ = 115/250 = 0.46
p̂ = 190/400 = 0.475
H₀ 下的标准误
SE = √(0.475·0.525·(1/150 + 1/250)) = 0.05158
检验统计量
z = (0.5 − 0.46)/0.05158 = 0.7756
答案
z = 0.7756
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9981
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 922 − 30·130/5 = 142
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3886 − 130²/5 = 506
相关系数
r = 142/√(40·506) = 0.9981
答案
r = 0.9981
14.线性回归与相关
答案: x = 4.444
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 229/5 = 45.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36
回归直线
b = 36/10 = 3.6
a = 45.8 − 3.6·3 = 35
ŷ = 35 + 3.6·x
解出 x
x = (51 − 35)/3.6 = 4.444
答案
x = 4.444
15.卡方检验
答案: E = 18.78
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 53·45/127 = 18.78
答案
E = 18.78
16.卡方检验
答案: df = 2
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 − 1 = 2
答案
df = 2
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