描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
为什么在收集数据之前要对观察中的行为类别进行操作化？
- A以便在看到数据后修改假设
- B使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
- C让参与者确切知道哪些行为被记录
- D使观察变成实验
2.心理学研究方法困难
一项研究发现，在社会支持强的人身上，压力对疾病的影响较弱。社会支持在这里起什么作用？
- A混淆变量
- B因变量
- C中介变量
- D调节变量
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：49, 51, 23, 41, 32。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值高于 78 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 8x = 78
P =
5.概率中等
袋中有 7 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
7 / 3
P =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.3 赢得 €20，以概率 0.02 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €5€20: p = 0.3€50: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 166.8 和 179.4 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 166.8x2 = 179.4
P =
8.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 60% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
9.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 66.5，标准差 s = 15.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 21x̄ = 66.5s = 15.590%t(20) = 1.725
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 36E = 499%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 119 mm，该生产线的已知标准差为 18 mm。生产线 2：50 个零件的样本均值为 116.3 mm，已知标准差为 10 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 80x̄₁ = 119 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 50x̄₂ = 116.3 mmσ₂ = 10 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 10。求最小样本量 n。
σ = 10E = 390%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 65？
n = 6ŷ = 65
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“学生，公交车”的期望频数 E。
行合计 = 44列合计 = 45N = 137
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1803 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
为什么是这个答案
清晰、可观察的类别（例如"用张开的手打人"）减少主观判断，提高观察者间信度。
答案
B · 使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
2.心理学研究方法
答案: D · 调节变量
为什么是这个答案
调节变量改变两个变量之间关系的强度或方向。中介变量解释一个变量影响另一个变量的机制。
答案
D · 调节变量
3.描述统计
答案: s = 11.76
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 196/5 = 39.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = 9.8² + 11.8² + (−16.2)² + 1.8² + (−7.2)² = 552.8
标准差
s = √(552.8/4) = 11.76
答案
s = 11.76
4.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
答案
P = 0.1587
5.概率
答案: P = 0.4667
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0.4667
答案
P = 0.4667
6.概率
答案: E(G) = 2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 15 (p = 0.3), 45 (p = 0.02), −5 (p = 0.68)
期望值
E(G) = 15·0.3 + 45·0.02 − 5·0.68 = 2 €
答案
E(G) = 2 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.5245
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (166.8 − 178)/7 = −1.6
z₂ = (179.4 − 178)/7 = 0.2
中间面积
P = Φ(0.2) − Φ(−1.6) = 0.5793 − 0.0548 = 0.5245
答案
P = 0.5245
8.正态分布
答案: x = 179.8 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.6
由表得到的 z
z ≈ 0.25
回到原来的单位
x = 178 + 0.25·7 = 179.8 cm
答案
x = 179.8 cm
9.置信区间
答案: E = 5.835
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 1.725
误差范围
E = 1.725·15.5/√21 = 5.835
答案
E = 5.835
10.置信区间
答案: n = 538
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·36/4)² = 537.5
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 538
答案
n = 538
11.假设检验与置信区间
答案: z = 1.098
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(18²/80 + 10²/50) = √6.05 = 2.46
检验统计量
z = (119 − 116.3)/2.46 = 1.098
答案
z = 1.098
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 31
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·10/3)² = 30.07
向上取整
n = 31
答案
n = 31
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9623
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 570/6 = 95
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 298
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1370
相关系数
r = 298/√(70·1370) = 0.9623
答案
r = 0.9623
14.线性回归与相关
答案: x = 7.986
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 326/6 = 54.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 376
回归直线
b = 376/70 = 5.371
a = 54.33 − 5.371·6 = 22.1
ŷ = 22.1 + 5.371·x
解出 x
x = (65 − 22.1)/5.371 = 7.986
答案
x = 7.986
15.卡方检验
答案: E = 14.45
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 44·45/137 = 14.45
答案
E = 14.45
16.卡方检验
答案: χ² = 2.877
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 12, 28
生产线 2: 24, 56
生产线 3: 18, 42
卡方统计量
χ² = (15 − 12)²/12 + (25 − 28)²/28 + (19 − 24)²/24 + (61 − 56)²/56 + (20 − 18)²/18 + (40 − 42)²/42
χ² = 2.877
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
2.877 < 5.991
答案
χ² = 2.877
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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