描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
专家检查一份数学考试的题目是否涵盖了教学大纲中的所有主题。这评估的是：
- A内容效度
- B预测效度
- C生态效度
- D重测信度
2.心理学研究方法困难
在主题分析中，分析者主要：
- A在质性数据中识别反复出现的意义模式
- B只统计词频
- C计算每个主题的平均分，以便进行统计比较
- D检验数字假设
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：34, 59, 36, 28, 16, 21。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 20。求成绩 80 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 20x = 80
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
Var(X) =
6.概率困难
测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.5 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.5
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9566。求 z，保留两位小数。
A = 0.9566
z =
8.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
9.置信区间中等
一个包含 20 个个体的样本，均值为 93.5，标准差 s = 9。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 20x̄ = 93.5s = 999%t(19) = 2.861
下限 =
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.15 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p ≈ 0.15E = 0.02599%
n =
11.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 76.68，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 76.68s = 8n = 100
t =
12.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 103.8。总体标准差为 15。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 103.8σ = 15n = 1695%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4.5, 16)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(4.5, 16)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2402 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 7 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 内容效度
为什么是这个答案
内容效度是指一个测量涵盖该结构所有相关方面的程度，通常由专家判断。
答案
A · 内容效度
2.心理学研究方法
答案: A · 在质性数据中识别反复出现的意义模式
为什么是这个答案
主题分析包括熟悉数据、编码、生成主题、复查主题、命名主题和撰写报告，关注的是意义而不是统计。
答案
A · 在质性数据中识别反复出现的意义模式
3.描述统计
答案: s = 15.11
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 194/6 = 32.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 1.667² + 26.67² + 3.667² + (−4.333)² + (−16.33)² + (−11.33)² = 1141
标准差
s = √(1141/5) = 15.11
答案
s = 15.11
4.描述统计
答案: z = 1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (80 − 60)/20 = 1
答案
z = 1
5.概率
答案: Var(X) = 0.6475
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75
方差
Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
答案
Var(X) = 0.6475
6.概率
答案: P = 0.0625
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.57 = 0.007813
P(X = 1) = 7·0.5·0.56 = 0.05469
相加
P = 0.007813 + 0.05469 = 0.0625
答案
P = 0.0625
7.正态分布
答案: z = 2.02
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9566)/2 = 0.9783
反向查 z 表
在表中找到 0.9783，读出 z。
z = 2.02
答案
z = 2.02
8.正态分布
答案: x = 593.1 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 500 + 2.326·40 = 593.05 h
答案
x = 593.05 h
9.置信区间
答案: 下限 = 87.74
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 19, t = 2.861
误差范围
E = 2.861·9/√20 = 5.758
区间
93.5 ± 5.758 → [87.74, 99.26]
答案
下限 = 87.74
10.置信区间
答案: n = 1354
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.15·0.85/0.025² = 1354
向上取整
n = 1354
答案
n = 1354
11.假设检验与置信区间
答案: t = 2.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8
检验统计量
t = (76.68 − 75)/0.8 = 2.1
答案
t = 2.1
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 111.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·15/√16 = 7.35
区间端点
U = 103.8 + 7.35 = 111.1
答案
U = 111.1
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9979
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 342/6 = 57
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 362
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1876
决定系数
r² = 362²/(70·1876) = 0.9979
答案
r² = 0.9979
y 的变异中约有 99.79% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = 2.624
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 101/6 = 16.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −60.5
回归直线
b = −60.5/17.5 = −3.457
a = 16.83 − (−3.457)·3.5 = 28.93
ŷ = 28.93 − 3.457·x
预测值
ŷ = 28.93 + (−3.457)·4.5 = 13.38
残差
e = 16 − 13.38 = 2.624
答案
e = 2.624
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 4.153
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 120·36/240 = 18, 120·96/240 = 48, 120·108/240 = 54
农村: 120·36/240 = 18, 120·96/240 = 48, 120·108/240 = 54
卡方统计量
χ² = (23 − 18)²/18 + (49 − 48)²/48 + (48 − 54)²/54 + (13 − 18)²/18 + (47 − 48)²/48 + (60 − 54)²/54
χ² = 4.153
答案
χ² = 4.153
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 15.09
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 7 − 1 − 1 = 5
表
χ²crit(df = 5, α = 0.01) = 15.086
答案
χ²crit = 15.086
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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