心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

研究者想检验性别（男/女）与偏好的电影类型（四类）之间是否存在关联。哪种检验合适？

A单因素方差分析
B卡方独立性检验
CPearson 相关
D配对 t 检验

2.心理学研究方法困难

分析完数据后，研究者在撰写引言时把一个意外发现写得好像一开始就预测到了一样。这称为：

A平衡抵消
BHARKing（结果已知后提出假设）
C事后说明
D操作化

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：18, 52, 59, 20, 33, 28, 54。

n = 7

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值高于 58 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 8x = 58

P =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.25, 0.1, 0.25

σ =

6.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 10X + 4。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.35, 0.1Y = 10X + 4

σ_Y =

7.正态分布中等

X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 29.5 min 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 29.5 min

P =

8.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

9.置信区间中等

测量 20 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −7，标准差为 3.8。求平均差值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 20d̄ = −7s_d = 3.899%t(19) = 2.861

E = mmHg

10.置信区间困难

一项预研究表明，约有 0.1 的产品有缺陷。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.03？

p ≈ 0.1E = 0.0390%

n =

11.假设检验与置信区间中等

10 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 4.17，差值的标准差为 11。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 10d̄ = 4.17s_d = 11

t =

12.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ < 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 12。实际上均值为 74.8。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 80μ = 74.8σ = 12n = 36α = 0.05

β = %

13.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

14.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 27.5 时的 ŷ。

n = 6x = 27.5

ŷ =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1602 × 2

χ² =

16.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 1803 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: B · 卡方独立性检验

为什么是这个答案

卡方检验比较列联表中的观察频数与期望频数，以检验两个分类变量是否相关联。

答案

B · 卡方独立性检验

2.心理学研究方法

答案: B · HARKing（结果已知后提出假设）

为什么是这个答案

HARKing 把探索性结果当作验证性结果来呈现，使发现看起来比实际更可靠。它是重复危机的成因之一。

答案

B · HARKing（结果已知后提出假设）

3.描述统计

答案: s = 17.04

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 264/7 = 37.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−19.71)² + 14.29² + 21.29² + (−17.71)² + (−4.714)² + (−9.714)² + 16.29² = 1741

标准差

s = √(1741/6) = 17.04

答案

s = 17.04

4.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

5.概率

答案: σ = 1.546

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 1·0.1 + 2·0.25 + 3·0.1 + 4·0.25 = 1.9

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.1 + 4·0.25 + 9·0.1 + 16·0.25 = 6

方差

Var(X) = 6 − 1.9² = 2.39

σ = √2.39 = 1.546

答案

σ = 1.546

6.概率

答案: σ_Y = 9.539

X 的离散程度

μ = 2.3, Var(X) = 0.91, σ_X = 0.9539

线性变换

σ_Y = |10|·0.9539 = 9.539

答案

σ_Y = 9.539

均值确实会改变：E(Y) = 10·2.3 + 4 = 27。

7.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

标准化

z = (29.5 − 32)/2.5 = −1

上尾

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

答案

P = 0.8413

8.正态分布

答案: x = 434.2 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h

答案

x = 434.2 h

9.置信区间

答案: E = 2.431 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 19, t = 2.861

误差范围

E = 2.861·3.8/√20 = 2.431

答案

E = 2.431 mmHg

10.置信区间

答案: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.1·0.9/0.03² = 270.6

向上取整

n = 271

答案

n = 271

11.假设检验与置信区间

答案: t = 1.199

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 11/√10 = 3.479

检验统计量

t = 4.17/3.479 = 1.199

答案

t = 1.199

df = 9 时，双侧 5% 的临界值为 2.262；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

12.假设检验与置信区间

答案: β = 16.98 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 12/√36 = 2

x̄_c = 80 − 1.645·2 = 76.71

真实均值下的 z

z = (76.71 − 74.8)/2 = 0.955

第二类错误

功效 = P(Z < 0.955) = 83.02%

β = 100% − 83.02% = 16.98%

答案

β = 16.98%

13.线性回归与相关

答案: r² = 0.985

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 133/6 = 22.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 197

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 562.8

决定系数

r² = 197²/(70·562.8) = 0.985

答案

r² = 0.985

y 的变异中约有 98.5% 可由该直线解释。

14.线性回归与相关

答案: ŷ = 77.84

均值

x̄ = 129/6 = 21.5

ȳ = 357/6 = 59.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 481.5

回归直线

b = 481.5/157.5 = 3.057

a = 59.5 − 3.057·21.5 = −6.229

ŷ = −6.229 + 3.057·x

预测

ŷ = −6.229 + 3.057·27.5 = 77.84

答案

ŷ = 77.84

15.卡方检验

答案: χ² = 0.1347

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

吸烟者: 40·72/160 = 18, 40·88/160 = 22

不吸烟者: 120·72/160 = 54, 120·88/160 = 66

卡方统计量

χ² = (19 − 18)²/18 + (21 − 22)²/22 + (53 − 54)²/54 + (67 − 66)²/66

χ² = 0.1347

答案

χ² = 0.1347

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ² = 9.323

期望频数

生产线 1: 64, 16

生产线 2: 32, 8

生产线 3: 48, 12

卡方统计量

χ² = (62 − 64)²/64 + (18 − 16)²/16 + (27 − 32)²/32 + (13 − 8)²/8 + (55 − 48)²/48 + (5 − 12)²/12

χ² = 9.323

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

9.323 > 5.991

答案

χ² = 9.323

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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