描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名学生在一项平均数为 100、标准差为 15 的测验中得了 130 分。z 分数是多少？
- A1.5
- B0.5
- C3.0
- D2.0
2.心理学研究方法困难
在主题分析中，分析者主要：
- A在质性数据中识别反复出现的意义模式
- B只统计词频
- C检验数字假设
- D计算每个主题的平均分，以便进行统计比较
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：56, 28, 48, 40, 39, 55。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 52 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 5x = 52
z =
5.概率中等
袋中有 4 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
4 / 7
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 5X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 5X + 4
σY =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8355。求 z，保留两位小数。
A = 0.8355
z =
8.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 94.5 h，已知标准差 20 h。型号 2：80 部手机，均值 105.5 h，已知标准差 13 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 100x̄₁ = 94.5 hσ₁ = 20 hn₂ = 80x̄₂ = 105.5 hσ₂ = 13 h90%
E = h
10.置信区间困难
16 根机加工轴的直径样本标准差为 2 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 15 时，χ² 分布有 2.5% 位于 6.262 以下，2.5% 位于 27.488 以上。
n = 16s = 2 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 47.3，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 47.3s = 15n = 100
t =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 210 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 110 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 210n₁ = 300x₂ = 110n₂ = 150
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 51？
n = 6ŷ = 51
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2202 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 6 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
3 × 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 2.0
为什么是这个答案
(130 − 100) / 15 = 2。该分数比平均数高两个标准差，高于约 97–98% 的人。
答案
D · 2.0
2.心理学研究方法
答案: A · 在质性数据中识别反复出现的意义模式
为什么是这个答案
主题分析包括熟悉数据、编码、生成主题、复查主题、命名主题和撰写报告，关注的是意义而不是统计。
答案
A · 在质性数据中识别反复出现的意义模式
3.描述统计
答案: s = 10.75
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 266/6 = 44.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 11.67² + (−16.33)² + 3.667² + (−4.333)² + (−5.333)² + 10.67² = 577.3
标准差
s = √(577.3/5) = 10.75
答案
s = 10.75
4.描述统计
答案: z = 0.4
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (52 − 50)/5 = 0.4
答案
z = 0.4
5.概率
答案: P = 0.1091
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0.1091
答案
P = 0.1091
6.概率
答案: σY = 4.023
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
线性变换
σY = |5|·0.8047 = 4.023
答案
σY = 4.023
均值确实会改变：E(Y) = 5·0.95 + 4 = 8.75。
7.正态分布
答案: z = 1.39
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8355)/2 = 0.9177
反向查 z 表
在表中找到 0.9177，读出 z。
z = 1.39
答案
z = 1.39
8.正态分布
答案: x = 173.3 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
换算回 x
x = 178 + −0.6745·7 = 173.28 cm
答案
x = 173.28 cm
9.置信区间
答案: E = 4.067 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 94.5 − 105.5 = −11
标准误
SE = √(20²/100 + 13²/80) = 2.472
误差范围
E = 1.645·2.472 = 4.067
答案
E = 4.067 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
10.置信区间
答案: σ = 3.095 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 15·2² = 60
σ² 的限值
60/27.488 = 2.183
60/6.262 = 9.582
σ 的限值
σ = √9.582 = 3.095 µm
答案
σ = 3.095 µm
σ 的 95% 区间：[1.477, 3.095] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√100 = 15/10 = 1.5
检验统计量
t = (47.3 − 50)/1.5 = −1.8
答案
t = −1.8
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: z = −0.7354
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 210/300 = 0.7
p̂₂ = 110/150 = 0.7333
p̂ = 320/450 = 0.7111
H₀ 下的标准误
SE = √(0.7111·0.2889·(1/300 + 1/150)) = 0.04532
检验统计量
z = (0.7 − 0.7333)/0.04532 = −0.7354
答案
z = −0.7354
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9615
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 514/6 = 85.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 302
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1409
相关系数
r = 302/√(70·1409) = 0.9615
答案
r = 0.9615
14.线性回归与相关
答案: x = 14.95
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 440/6 = 73.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 386
回归直线
b = 386/70 = 5.514
a = 73.33 − 5.514·19 = −31.44
ŷ = −31.44 + 5.514·x
解出 x
x = (51 − (−31.44))/5.514 = 14.95
答案
x = 14.95
15.卡方检验
答案: χ² = 6.27
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 120·110/220 = 60, 120·55/220 = 30, 120·55/220 = 30
农村: 100·110/220 = 50, 100·55/220 = 25, 100·55/220 = 25
卡方统计量
χ² = (55 − 60)²/60 + (27 − 30)²/30 + (38 − 30)²/30 + (55 − 50)²/50 + (28 − 25)²/25 + (17 − 25)²/25
χ² = 6.27
答案
χ² = 6.27
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 10
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10
答案
df = 10
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