心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

在一项相关研究中，r = 0.40。一个变量的方差中有多大比例与另一个变量共享？

A40%
B60%
C16%
D4%

2.心理学研究方法困难

一项只以职业篮球运动员为对象的研究发现，身高与智商的相关为 r = 0.05，而在一般人群中这一相关更高。最能解释这种弱相关的是什么？

A全距受限
B向平均数回归
C需求特征
D智商测验的天花板效应

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：29, 27, 34, 51, 33, 11, 46。

n = 7

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。数值高于 73 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 5x = 73

P =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.1, 0.25, 0.35

σ =

6.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.1 赢得 €10，以概率 0.05 赢得 €250；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€10: p = 0.1€250: p = 0.05

E(G) = €

7.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242.25 和 260 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 242.25x₂ = 260

P =

8.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

9.置信区间中等

一个包含 30 个个体的样本，均值为 35.5，标准差 s = 5.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 30x̄ = 35.5s = 5.595%t(29) = 2.045

上限 =

10.置信区间困难

11 根机加工轴的直径样本标准差为 10.4 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 10 时，χ² 分布有 2.5% 位于 3.247 以下，2.5% 位于 20.483 以上。

n = 11s = 10.4 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

11.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 192.6，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 192.6s = 12n = 25

t =

12.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 29。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 80%δ = 5σ = 29z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

13.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 110Σy = 593Σx² = 2460Σy² = 71829Σxy = 13290

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (2.5, 21)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(2.5, 21)

e =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 2202 × 3

χ² =

16.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2803 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: C · 16%

为什么是这个答案

决定系数为 r²，这里是 0.40² = 0.16，因此有 16% 的方差是共享的。

答案

C · 16%

2.心理学研究方法

答案: A · 全距受限

为什么是这个答案

当样本只覆盖某个变量很窄的范围时，涉及该变量的相关就会降低。篮球运动员都很高，因此身高变化很小。

答案

A · 全距受限

3.描述统计

答案: s = 13.1

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 231/7 = 33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−6)² + 1² + 18² + 0² + (−22)² + 13² = 1030

标准差

s = √(1030/6) = 13.1

答案

s = 13.1

4.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

5.概率

答案: σ = 12.36

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 10·0.3 + 20·0.1 + 30·0.25 + 40·0.35 = 26.5

平方的均值

E(X²) = 100·0.3 + 400·0.1 + 900·0.25 + 1600·0.35 = 855

方差

Var(X) = 855 − 26.5² = 152.8

σ = √152.8 = 12.36

答案

σ = 12.36

6.概率

答案: E(G) = 8.5 €

净结果

G: 5 (p = 0.1), 245 (p = 0.05), −5 (p = 0.85)

期望值

E(G) = 5·0.1 + 245·0.05 − 5·0.85 = 8.5 €

答案

E(G) = 8.5 €

正值表示平均而言你会赢钱。

7.正态分布

答案: P = 0.9167

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (242.25 − 250)/5 = −1.55

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

中间面积

P = Φ(2) − Φ(−1.55) = 0.9772 − 0.06057 = 0.9167

答案

P = 0.9167

8.正态分布

答案: P = 0.8264

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94

概率

P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264

答案

P = 0.8264

9.置信区间

答案: 上限 = 37.55

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 2.045

误差范围

E = 2.045·5.5/√30 = 2.054

区间

35.5 ± 2.054 → [33.45, 37.55]

答案

上限 = 37.55

10.置信区间

答案: σ = 7.267 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 10·10.4² = 1082

σ² 的限值

1082/20.483 = 52.8

1082/3.247 = 333.1

σ 的限值

σ = √52.8 = 7.267 µm

答案

σ = 7.267 µm

σ 的 95% 区间：[7.267, 18.25] µm。

11.假设检验与置信区间

答案: t = −3.083

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√25 = 12/5 = 2.4

检验统计量

t = (192.6 − 200)/2.4 = −3.083

答案

t = −3.083

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

12.假设检验与置信区间

答案: n = 209

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 0.842)·29/5)² = 208.1

向上取整

n = 209

答案

n = 209

13.线性回归与相关

答案: r = 0.9964

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 13290 − 110·593/5 = 244

S_xx = 2460 − 110²/5 = 40

S_yy = 71829 − 593²/5 = 1499

答案

r = 0.9964

14.线性回归与相关

答案: e = −2.55

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 115/5 = 23

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11

回归直线

b = −11/10 = −1.1

a = 23 − (−1.1)·3 = 26.3

ŷ = 26.3 − 1.1·x

预测值

ŷ = 26.3 + (−1.1)·2.5 = 23.55

残差

e = 21 − 23.55 = −2.55

答案

e = −2.55

该点位于直线下方。

15.卡方检验

答案: χ² = 49.39

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

城市: 120·110/220 = 60, 120·55/220 = 30, 120·55/220 = 30

农村: 100·110/220 = 50, 100·55/220 = 25, 100·55/220 = 25

卡方统计量

χ² = (41 − 60)²/60 + (27 − 30)²/30 + (52 − 30)²/30 + (69 − 50)²/50 + (28 − 25)²/25 + (3 − 25)²/25

χ² = 49.39

答案

χ² = 49.39

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ² = 31.2

期望频数

生产线 1: 75, 25

生产线 2: 75, 25

生产线 3: 60, 20

卡方统计量

χ² = (91 − 75)²/75 + (9 − 25)²/25 + (57 − 75)²/75 + (43 − 25)²/25 + (62 − 60)²/60 + (18 − 20)²/20

χ² = 31.2

决策

df = 2, χ²_crit = 9.210

31.2 > 9.210

答案

χ² = 31.2

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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