描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
操作化是指：
- A选择统计检验
- B给参与者指导语
- C在医院等真实的实际运作环境中开展研究
- D以精确、可测量的方式定义变量
2.心理学研究方法困难
一项研究发现睡眠多的学生成绩更高。哪种设计改变最能支持因果结论？
- A让学生报告两次睡眠情况，并取两次报告的平均值
- B调查更多学生
- C更准确地测量成绩
- D把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：14, 35, 11, 50, 56, 36, 39。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。数值低于 34 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 20x = 34
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.3, 0.3, 0.25
σ =
6.概率困难
测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.4
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.2981。求 z，保留两位小数。
A = 0.2981
z =
8.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 84.5，标准差 s = 18。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 25x̄ = 84.5s = 1890%t(24) = 1.711
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 33。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 33E = 0.595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 250；已知总体标准差为 5。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 248.3。检验 H₀: μ = 250 对 H₁: μ ≠ 250。求 p 值 p。
μ₀ = 250σ = 5n = 25x̄ = 248.3H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 106.3。总体标准差为 15。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 106.3σ = 15n = 3695%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 105Σy = 569Σx² = 2295Σy² = 67347Σxy = 12426
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 15)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(5, 15)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 以精确、可测量的方式定义变量
为什么是这个答案
将变量操作化，就是把抽象概念转化为具体的测量，使研究可以被重复。
答案
D · 以精确、可测量的方式定义变量
2.心理学研究方法
答案: D · 把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
为什么是这个答案
只有通过随机分配来操纵睡眠，才能控制第三变量，并在伦理允许的范围内做出因果推断。
答案
D · 把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
3.描述统计
答案: s = 16.82
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 241/7 = 34.43
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−20.43)² + 0.5714² + (−23.43)² + 15.57² + 21.57² + 1.571² + 4.571² = 1698
标准差
s = √(1698/6) = 16.82
答案
s = 16.82
4.描述统计
答案: P = 0.2119
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.8
标准正态分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
答案
P = 0.2119
5.概率
答案: σ = 10.14
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.15 + 20·0.3 + 30·0.3 + 40·0.25 = 26.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.15 + 400·0.3 + 900·0.3 + 1600·0.25 = 805
方差
Var(X) = 805 − 26.5² = 102.8
σ = √102.8 = 10.14
答案
σ = 10.14
6.概率
答案: P = 0.1586
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.67 = 0.02799
P(X = 1) = 7·0.4·0.66 = 0.1306
相加
P = 0.02799 + 0.1306 = 0.1586
答案
P = 0.1586
7.正态分布
答案: z = 0.53
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.2981 = 0.7019
反向查 z 表
在表中找到 0.7019，读出 z。
z = 0.53
答案
z = 0.53
8.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
9.置信区间
答案: 上限 = 90.66
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 1.711
误差范围
E = 1.711·18/√25 = 6.16
区间
84.5 ± 6.16 → [78.34, 90.66]
答案
上限 = 90.66
10.置信区间
答案: n = 16735
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·33/0.5)² = 16734
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 16735
答案
n = 16735
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.08913
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (248.3 − 250)/1 = −1.7
尾部面积
Φ(1.7) = 0.9554
1 − Φ(1.7) = 0.0446
p 值
p = 2·0.0446 = 0.08913
答案
p = 0.08913
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 111.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·15/√36 = 4.9
区间端点
U = 106.3 + 4.9 = 111.2
答案
U = 111.2
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9871
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 12426 − 105·569/5 = 477
Sxx = 2295 − 105²/5 = 90
Syy = 67347 − 569²/5 = 2595
相关系数
r = 477/√(90·2595) = 0.9871
答案
r = 0.9871
14.线性回归与相关
答案: e = 3.65
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 65/5 = 13
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
回归直线
b = 66/40 = 1.65
a = 13 − 1.65·6 = 3.1
ŷ = 3.1 + 1.65·x
预测值
ŷ = 3.1 + 1.65·5 = 11.35
残差
e = 15 − 11.35 = 3.65
答案
e = 3.65
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 1.444
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 40·48/160 = 12, 40·48/160 = 12, 40·64/160 = 16
夜班: 120·48/160 = 36, 120·48/160 = 36, 120·64/160 = 48
卡方统计量
χ² = (9 − 12)²/12 + (13 − 12)²/12 + (18 − 16)²/16 + (39 − 36)²/36 + (35 − 36)²/36 + (46 − 48)²/48
χ² = 1.444
答案
χ² = 1.444
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 12.59
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6
表
χ²crit(df = 6, α = 0.05) = 12.592
答案
χ²crit = 12.592
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology