描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名学生在一项平均数为 100、标准差为 15 的测验中得了 130 分。z 分数是多少？
- A0.5
- B2.0
- C3.0
- D1.5
2.心理学研究方法困难
一项研究发现，在社会支持强的人身上，压力对疾病的影响较弱。社会支持在这里起什么作用？
- A调节变量
- B混淆变量
- C中介变量
- D因变量
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：32, 54, 31, 40, 23, 39。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。数值高于 70 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 10x = 70
P =
5.概率中等
从 10 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 10k = 4
N =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 5X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.2, 0.3, 0.1, 0.15Y = 5X + 4
σY =
7.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量超过 58.2 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 5> 58.2 kg
P =
8.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 99%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 106.5，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 25x̄ = 106.5s = 19.599%t(24) = 2.797
上限 =
10.置信区间困难
25 根机加工轴的直径样本标准差为 1.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。
n = 25s = 1.7 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 201.6，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 201.6s = 8n = 36
t =
12.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 197.5。总体标准差为 10。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 197.5σ = 10n = 1695%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (7, 9)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(7, 9)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 2.0
为什么是这个答案
(130 − 100) / 15 = 2。该分数比平均数高两个标准差，高于约 97–98% 的人。
答案
B · 2.0
2.心理学研究方法
答案: A · 调节变量
为什么是这个答案
调节变量改变两个变量之间关系的强度或方向。中介变量解释一个变量影响另一个变量的机制。
答案
A · 调节变量
3.描述统计
答案: s = 10.56
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 219/6 = 36.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−4.5)² + 17.5² + (−5.5)² + 3.5² + (−13.5)² + 2.5² = 557.5
标准差
s = √(557.5/5) = 10.56
答案
s = 10.56
4.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
答案
P = 0.1587
5.概率
答案: N = 210
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210
答案
N = 210
6.概率
答案: σY = 6.727
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.7, Var(X) = 1.81, σX = 1.345
线性变换
σY = |5|·1.345 = 6.727
答案
σY = 6.727
均值确实会改变：E(Y) = 5·1.7 + 4 = 12.5。
7.正态分布
答案: P = 0.8438
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 60 kg, σT = 0.8·√5 = 1.789 kg
标准化
z = (58.2 − 60)/1.789 = −1.01
概率
P = 1 − Φ(−1.01) = 0.8438
答案
P = 0.8438
8.正态分布
答案: x = 134.9 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 100 + 2.326·15 = 134.89 分
答案
x = 134.89 分
9.置信区间
答案: 上限 = 117.4
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 2.797
误差范围
E = 2.797·19.5/√25 = 10.91
区间
106.5 ± 10.91 → [95.59, 117.4]
答案
上限 = 117.4
10.置信区间
答案: σ = 2.365 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 24·1.7² = 69.36
σ² 的限值
69.36/39.364 = 1.762
69.36/12.401 = 5.593
σ 的限值
σ = √5.593 = 2.365 µm
答案
σ = 2.365 µm
σ 的 95% 区间：[1.327, 2.365] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333
检验统计量
t = (201.6 − 200)/1.333 = 1.2
答案
t = 1.2
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 202.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·10/√16 = 4.9
区间端点
U = 197.5 + 4.9 = 202.4
答案
U = 202.4
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9073
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 99.2
决定系数
r² = −30²/(10·99.2) = 0.9073
答案
r² = 0.9073
y 的变异中约有 90.73% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = −3.333
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 74/6 = 12.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86
回归直线
b = 86/70 = 1.229
a = 12.33 − 1.229·7 = 3.733
ŷ = 3.733 + 1.229·x
预测值
ŷ = 3.733 + 1.229·7 = 12.33
残差
e = 9 − 12.33 = −3.333
答案
e = −3.333
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: χ² = 9.844
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 60·84/140 = 36, 60·56/140 = 24
不吸烟者: 80·84/140 = 48, 80·56/140 = 32
卡方统计量
χ² = (45 − 36)²/36 + (15 − 24)²/24 + (39 − 48)²/48 + (41 − 32)²/32
χ² = 9.844
答案
χ² = 9.844
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 17.15
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 40, 40
31–50 岁: 20, 20
51 岁及以上: 40, 40
卡方统计量
χ² = (33 − 40)²/40 + (47 − 40)²/40 + (13 − 20)²/20 + (27 − 20)²/20 + (54 − 40)²/40 + (26 − 40)²/40
χ² = 17.15
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
17.15 > 9.210
答案
χ² = 17.15
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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