心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件
P(not A) = 1 − P(A)
加法公式
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率
b = Sxy/Sxx
截距
a = ȳ − b·x̄
相关系数
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量
χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策
若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0

2练习题

1.心理学研究方法中等

为什么在收集数据之前要对观察中的行为类别进行操作化？

  1. A使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
  2. B使观察变成实验
  3. C以便在看到数据后修改假设
  4. D让参与者确切知道哪些行为被记录
2.心理学研究方法困难

增加研究的样本量最直接的作用是：

  1. A只要存在任何效应，就保证得到统计上显著的结果
  2. B消除样本中的一切偏差
  3. C提高检测真实效应的统计检验力
  4. D增大效应量
3.描述统计中等
2025303540455055

求数据的样本标准差 s：38, 59, 20, 42, 52, 27。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。数值低于 560 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 40x = 560
P =
5.概率中等
n = 8k = 4N = ?

从 8 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 8k = 4
N =
6.概率困难
xp(x)10.320.1530.340.250.05μ

X 的分布如图所示，Y = 10X + 10。求 Y 的标准差 σY。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.15, 0.3, 0.2, 0.05Y = 10X + 10
σY =
7.正态分布中等
93.25112.75P = ?

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 93.25 和 112.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x1 = 93.25x2 = 112.75
P =
8.正态分布困难
235240245250255260265g底部 20%

袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
9.置信区间中等
n = 8, s = 16L = ?Ux̄ = 29.5E90%

一个包含 8 个个体的样本，均值为 29.5，标准差 s = 16。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 8x̄ = 29.5s = 1690%t(7) = 1.895
下限 =
10.置信区间困难
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 495%

总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 20E = 495%
n =
11.假设检验与置信区间中等
t −1.99801.998

64 名学生的样本平均分为 123，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 123s = 10n = 64
t =
12.假设检验与置信区间困难
z −2.57602.576

25 次测量的样本均值为 91.2。总体标准差为 20。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 91.2σ = 20n = 2599%
L =
13.线性回归与相关中等
xy135234335440545xy24354045

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 15Σy = 189Σx² = 55Σy² = 7231Σxy = 593
r =
14.线性回归与相关困难
xy25345566787410881299xy5106080100x = 11

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (11, 89)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(11, 89)
e =
15.卡方检验中等
是否合计男性6258120女性261440合计8872160

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1602 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

一个卡方拟合优度检验将 10 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。

α = 0.01
χ²crit =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: A · 使观察者一致地记录相同的行为，提高信度

为什么是这个答案

清晰、可观察的类别（例如"用张开的手打人"）减少主观判断，提高观察者间信度。

答案

A · 使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
2.心理学研究方法

答案: C · 提高检测真实效应的统计检验力

为什么是这个答案

更大的样本会减小标准误，从而提高检验力，但不会改变真实的效应量，也不能消除系统偏差。

答案

C · 提高检测真实效应的统计检验力
3.描述统计

答案: s = 14.71

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 238/6 = 39.67

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−1.667)² + 19.33² + (−19.67)² + 2.333² + 12.33² + (−12.67)² = 1081

标准差

s = √(1081/5) = 14.71

答案

s = 14.71
4.描述统计

答案: P = 0.9332

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = 1.5

标准正态分布表

Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332

答案

P = 0.9332
5.概率

答案: N = 70

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

答案

N = 70
6.概率

答案: σY = 12.44

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 2.55, Var(X) = 1.548, σX = 1.244

线性变换

σY = |10|·1.244 = 12.44

答案

σY = 12.44

均值确实会改变：E(Y) = 10·2.55 + 10 = 35.5。

7.正态分布

答案: P = 0.476

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (93.25 − 100)/15 = −0.45
z₂ = (112.75 − 100)/15 = 0.85

中间面积

P = Φ(0.85) − Φ(−0.45) = 0.8023 − 0.3264 = 0.476

答案

P = 0.476
8.正态分布

答案: x = 245.8 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.2

由表得到的 z

z ≈ −0.84

回到原来的单位

x = 250 − 0.84·5 = 245.8 g

答案

x = 245.8 g
9.置信区间

答案: 下限 = 18.78

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 1.895

误差范围

E = 1.895·16/√8 = 10.72

区间

29.5 ± 10.72 → [18.78, 40.22]

答案

下限 = 18.78
10.置信区间

答案: n = 97

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·20/4)² = 96.04

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 97

答案

n = 97
11.假设检验与置信区间

答案: t = 2.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25

检验统计量

t = (123 − 120)/1.25 = 2.4

答案

t = 2.4
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

12.假设检验与置信区间

答案: L = 80.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·20/√25 = 10.3

区间端点

L = 91.2 − 10.3 = 80.9

答案

L = 80.9
13.线性回归与相关

答案: r = 0.8825

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

Sxy = 593 − 15·189/5 = 26
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 7231 − 189²/5 = 86.8

相关系数

r = 26/√(10·86.8) = 0.8825

答案

r = 0.8825
14.线性回归与相关

答案: e = −2.867

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 436/6 = 72.67

平方和与乘积和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 336

回归直线

b = 336/70 = 4.8
a = 72.67 − 4.8·7 = 39.07
ŷ = 39.07 + 4.8·x

预测值

ŷ = 39.07 + 4.8·11 = 91.87

残差

e = 89 − 91.87 = −2.867

答案

e = −2.867

该点位于直线下方。

15.卡方检验

答案: χ² = 2.155

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

男性: 120·88/160 = 66, 120·72/160 = 54
女性: 40·88/160 = 22, 40·72/160 = 18

卡方统计量

χ² = (62 − 66)²/66 + (58 − 54)²/54 + (26 − 22)²/22 + (14 − 18)²/18
χ² = 2.155

答案

χ² = 2.155

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ²crit = 21.67

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

自由度

df = 10 − 1 = 9

表

χ²crit(df = 9, α = 0.01) = 21.666

答案

χ²crit = 21.666

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

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