描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
哪种统计量适用于两组等级之间的关系，例如评委对画作的排名？
- A卡方
- BPearson 相关系数 r
- CSpearman 等级相关系数（rho）
- D独立样本 t 检验
2.心理学研究方法困难
一名研究者使用问卷、访谈和观察来研究工作压力，各项发现相互一致。这种方法称为：
- A分层
- B平衡抵消
- C重复研究
- D三角验证
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：38, 38, 11, 31, 45。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 8。数值低于 90.4 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 8x = 90.4
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.3, 0.35
Var(X) =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.15 赢得 €4，以概率 0.01 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€4: p = 0.15€10: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9774。求 z，保留两位小数。
A = 0.9774
z =
8.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 99%
x = 分
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 121 h，已知标准差 18 h。型号 2：60 部手机，均值 119 h，已知标准差 8 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 60x̄₁ = 121 hσ₁ = 18 hn₂ = 60x̄₂ = 119 hσ₂ = 8 h90%
E = h
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.6 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.04？
p ≈ 0.6E = 0.0499%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 43 mm，该生产线的已知标准差为 19 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 34.5 mm，已知标准差为 7 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 50x̄₁ = 43 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 60x̄₂ = 34.5 mmσ₂ = 7 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 120 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 40 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 120n₁ = 200x₂ = 40n₂ = 80
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 108Σx² = 364Σy² = 2422Σxy = 938
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (2.5, 54)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(2.5, 54)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 5 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · Spearman 等级相关系数（rho）
为什么是这个答案
Spearman 等级相关测量两个排序或顺序变量之间单调关系的强度。
答案
C · Spearman 等级相关系数（rho）
2.心理学研究方法
答案: D · 三角验证
为什么是这个答案
三角验证使用多种方法、来源或研究者。它们之间的一致提高了对研究结果效度的信心。
答案
D · 三角验证
3.描述统计
答案: s = 13.05
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 163/5 = 32.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 5.4² + 5.4² + (−21.6)² + (−1.6)² + 12.4² = 681.2
标准差
s = √(681.2/4) = 13.05
答案
s = 13.05
4.描述统计
答案: P = 0.1151
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.2
标准正态分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151
答案
P = 0.1151
5.概率
答案: Var(X) = 1.387
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.25 + 2·0.1 + 3·0.3 + 4·0.35 = 2.75
平方的均值
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.1 + 9·0.3 + 16·0.35 = 8.95
方差
Var(X) = 8.95 − 2.75² = 1.387
答案
Var(X) = 1.387
6.概率
答案: E(G) = −0.3 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 3 (p = 0.15), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.84)
期望值
E(G) = 3·0.15 + 9·0.01 − 1·0.84 = −0.3 €
答案
E(G) = −0.3 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: z = 2.28
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9774)/2 = 0.9887
反向查 z 表
在表中找到 0.9887，读出 z。
z = 2.28
答案
z = 2.28
8.正态分布
答案: x = 134.9 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 100 + 2.326·15 = 134.89 分
答案
x = 134.89 分
9.置信区间
答案: E = 4.183 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 121 − 119 = 2
标准误
SE = √(18²/60 + 8²/60) = 2.543
误差范围
E = 1.645·2.543 = 4.183
答案
E = 4.183 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
10.置信区间
答案: n = 996
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.6·0.4/0.04² = 995.4
向上取整
n = 996
答案
n = 996
11.假设检验与置信区间
答案: z = 2.998
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(19²/50 + 7²/60) = √8.037 = 2.835
检验统计量
z = (43 − 34.5)/2.835 = 2.998
答案
z = 2.998
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: z = 1.528
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 120/200 = 0.6
p̂₂ = 40/80 = 0.5
p̂ = 160/280 = 0.5714
H₀ 下的标准误
SE = √(0.5714·0.4286·(1/200 + 1/80)) = 0.06547
检验统计量
z = (0.6 − 0.5)/0.06547 = 1.528
答案
z = 1.528
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = 0.995
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 938 − 42·108/6 = 182
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2422 − 108²/6 = 478
相关系数
r = 182/√(70·478) = 0.995
答案
r = 0.995
14.线性回归与相关
答案: e = 2.45
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 272/5 = 54.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57
回归直线
b = 57/10 = 5.7
a = 54.4 − 5.7·3 = 37.3
ŷ = 37.3 + 5.7·x
预测值
ŷ = 37.3 + 5.7·2.5 = 51.55
残差
e = 54 − 51.55 = 2.45
答案
e = 2.45
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 0.5556
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 60·72/120 = 36, 60·48/120 = 24
女性: 60·72/120 = 36, 60·48/120 = 24
卡方统计量
χ² = (34 − 36)²/36 + (26 − 24)²/24 + (38 − 36)²/36 + (22 − 24)²/24
χ² = 0.5556
答案
χ² = 0.5556
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 9.488
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4
表
χ²crit(df = 4, α = 0.05) = 9.488
答案
χ²crit = 9.488
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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