心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

p 值为 0.03 的意思是：

A根据观察到的数据，零假设为真的概率只有 3%
B效应很大
C结果有 97% 的机会被重复
D如果零假设为真，出现如此极端数据的概率约为 3%

2.心理学研究方法困难

一名参与者服用药物或糖丸，但不知道是哪一种，而研究者知道。这是什么设计？还可能存在哪种偏差？

A单盲；不可能出现需求特征
B开放试验；安慰剂效应得到完全控制
C单盲；仍可能存在实验者偏差
D双盲；不可能存在任何偏差

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：24, 29, 32, 27, 28, 37。

n = 6

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值高于 79 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 15x = 79

P =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.2, 0.25, 0.2

Var(X) =

6.概率困难

X 的分布如图所示，Y = −2X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.05, 0.15, 0.35, 0.35Y = −2X + 5

σ_Y =

7.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 6 个的总质量低于 241.5 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 6< 241.5 g

P =

8.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 10%

x = 分

9.置信区间中等

基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 4.3。用同样的数据计算 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 25E₁ = 4.390%

E₂ =

10.置信区间困难

总体标准差为 13。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 13E = 399%

n =

11.假设检验与置信区间中等

16 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −2.73，差值的标准差为 4.2。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 16d̄ = −2.73s_d = 4.2

t =

12.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 60 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 53 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 60n₁ = 150x₂ = 53n₂ = 100

z =

13.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 94Σx² = 220Σy² = 2050Σxy = 670

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4.5 时的 ŷ。

n = 5x = 4.5

ŷ =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 2202 × 2

χ² =

16.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验检验 9 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。该检验的自由度 df 是多少？

k = 9

df =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: D · 如果零假设为真，出现如此极端数据的概率约为 3%

为什么是这个答案

p 值是在零假设为真时，得到至少与观测结果一样极端的结果的概率。它既不表示假设为真的概率，也不表示效应大小。

答案

D · 如果零假设为真，出现如此极端数据的概率约为 3%

2.心理学研究方法

答案: C · 单盲；仍可能存在实验者偏差

为什么是这个答案

在单盲设计中，参与者不知道自己所处的条件，这控制了对安慰剂的期望。研究者知情仍可能影响结果，因此首选双盲设计。

答案

C · 单盲；仍可能存在实验者偏差

3.描述统计

答案: s = 4.506

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 177/6 = 29.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−5.5)² + (−0.5)² + 2.5² + (−2.5)² + (−1.5)² + 7.5² = 101.5

标准差

s = √(101.5/5) = 4.506

答案

s = 4.506

4.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

5.概率

答案: Var(X) = 1.31

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.25 + 4·0.2 = 2.3

平方的均值

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.25 + 16·0.2 = 6.6

方差

Var(X) = 6.6 − 2.3² = 1.31

答案

Var(X) = 1.31

6.概率

答案: σ_Y = 2.498

X 的离散程度

μ = 2.8, Var(X) = 1.56, σ_X = 1.249

线性变换

σ_Y = |−2|·1.249 = 2.498

答案

σ_Y = 2.498

均值确实会改变：E(Y) = −2·2.8 + 5 = −0.6。

7.正态分布

答案: P = 0.695

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 240 g, σ_T = 1.2·√6 = 2.939 g

标准化

z = (241.5 − 240)/2.939 = 0.51

概率

P = Φ(0.51) = 0.695

答案

P = 0.695

8.正态分布

答案: x = 80.78 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 100 + −1.282·15 = 80.78 分

答案

x = 80.78 分

9.置信区间

答案: E₂ = 2.746

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(25/25) = 0.6386

新的误差范围

E₂ = 4.3·0.6386 = 2.746

答案

E₂ = 2.746

10.置信区间

答案: n = 125

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·13/3)² = 124.6

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 125

答案

n = 125

11.假设检验与置信区间

答案: t = −2.6

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 4.2/√16 = 1.05

检验统计量

t = −2.73/1.05 = −2.6

答案

t = −2.6

df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

12.假设检验与置信区间

答案: z = −2.023

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 60/150 = 0.4

p̂₂ = 53/100 = 0.53

p̂ = 113/250 = 0.452

H₀ 下的标准误

SE = √(0.452·0.548·(1/150 + 1/100)) = 0.06425

检验统计量

z = (0.4 − 0.53)/0.06425 = −2.023

答案

z = −2.023

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

13.线性回归与相关

答案: r = 0.9966

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 670 − 30·94/5 = 106

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2050 − 94²/5 = 282.8

答案

r = 0.9966

14.线性回归与相关

答案: ŷ = 15.9

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

回归直线

b = −30/10 = −3

a = 20.4 − (−3)·3 = 29.4

ŷ = 29.4 − 3·x

预测

ŷ = 29.4 + (−3)·4.5 = 15.9

答案

ŷ = 15.9

15.卡方检验

答案: χ² = 14.52

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

男性: 100·121/220 = 55, 100·99/220 = 45

女性: 120·121/220 = 66, 120·99/220 = 54

卡方统计量

χ² = (69 − 55)²/55 + (31 − 45)²/45 + (52 − 66)²/66 + (68 − 54)²/54

χ² = 14.52

答案

χ² = 14.52

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。

16.卡方检验

答案: df = 7

自由度

df = 9 − 1 − 1 = 7

答案

df = 7

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