描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项横断面研究同时比较 20 岁、40 岁和 60 岁人群的科技使用情况。哪个问题可能混淆年龄比较？
- A同龄群体（队列）效应
- B练习效应
- C地板效应
- D顺序效应
2.心理学研究方法困难
为什么要报告科恩 d 等效应量指标？
- A它们取代了任何假设的必要性
- B它们说明有多少参与者退出
- C它们显示效应有多大，而不受样本量影响
- D它们显示结果在选定的 alpha 水平上是否具有统计显著性
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：19, 38, 53, 37, 57, 37。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。求成绩 380 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 60x = 380
z =
5.概率中等
从 8 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 8k = 2
N =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.2 赢得 €6，以概率 0.01 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€6: p = 0.2€40: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 85 和 103.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 85x2 = 103.75
P =
8.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 85% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 59.5 h，已知标准差 7 h。型号 2：40 部手机，均值 65 h，已知标准差 11 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 50x̄₁ = 59.5 hσ₁ = 7 hn₂ = 40x̄₂ = 65 hσ₂ = 11 h95%
下限 = h
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.6 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p ≈ 0.6E = 0.0395%
n =
11.假设检验与置信区间中等
11 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 5.59，差值的标准差为 5.3。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 11d̄ = 5.59sd = 5.3
t =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 125 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 72 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 125n₁ = 250x₂ = 72n₂ = 200
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (10, 91)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(10, 91)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1202 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 6 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 同龄群体（队列）效应
为什么是这个答案
不同年龄组在不同的历史条件下长大，因此差异可能反映的是代际（队列）差异，而不是衰老本身。
答案
A · 同龄群体（队列）效应
2.心理学研究方法
答案: C · 它们显示效应有多大，而不受样本量影响
为什么是这个答案
在大样本中，极小的效应也可能显著。效应量表示差异的大小，例如 d = 0.2 为小，0.5 为中，0.8 为大。
答案
C · 它们显示效应有多大，而不受样本量影响
3.描述统计
答案: s = 13.57
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 241/6 = 40.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−21.17)² + (−2.167)² + 12.83² + (−3.167)² + 16.83² + (−3.167)² = 920.8
标准差
s = √(920.8/5) = 13.57
答案
s = 13.57
4.描述统计
答案: z = −2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (380 − 500)/60 = −2
答案
z = −2
5.概率
答案: N = 28
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28
答案
N = 28
6.概率
答案: E(G) = −0.4 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.2), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.79)
期望值
E(G) = 4·0.2 + 38·0.01 − 2·0.79 = −0.4 €
答案
E(G) = −0.4 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: P = 0.4401
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (85 − 100)/15 = −1
z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25
中间面积
P = Φ(0.25) − Φ(−1) = 0.5987 − 0.1587 = 0.4401
答案
P = 0.4401
8.正态分布
答案: x = 244.8 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 250 − 1.04·5 = 244.8 g
答案
x = 244.8 g
9.置信区间
答案: 下限 = −9.422 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 59.5 − 65 = −5.5
标准误
SE = √(7²/50 + 11²/40) = 2.001
误差范围
E = 1.96·2.001 = 3.922
区间
−5.5 ± 3.922 → [−9.422, −1.578]
答案
下限 = −9.422 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
10.置信区间
答案: n = 1025
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.6·0.4/0.03² = 1024
向上取整
n = 1025
答案
n = 1025
11.假设检验与置信区间
答案: t = 3.498
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 5.3/√11 = 1.598
检验统计量
t = 5.59/1.598 = 3.498
答案
t = 3.498
df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: z = 2.975
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 125/250 = 0.5
p̂₂ = 72/200 = 0.36
p̂ = 197/450 = 0.4378
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4378·0.5622·(1/250 + 1/200)) = 0.04707
检验统计量
z = (0.5 − 0.36)/0.04707 = 2.975
答案
z = 2.975
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9398
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 44/5 = 8.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44
Syy = Σ(y − ȳ)² = 54.8
相关系数
r = 44/√(40·54.8) = 0.9398
答案
r = 0.9398
14.线性回归与相关
答案: e = −5.15
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 411/5 = 82.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186
回归直线
b = 186/40 = 4.65
a = 82.2 − 4.65·7 = 49.65
ŷ = 49.65 + 4.65·x
预测值
ŷ = 49.65 + 4.65·10 = 96.15
残差
e = 91 − 96.15 = −5.15
答案
e = −5.15
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: χ² = 4.404
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 40·30/120 = 10, 40·42/120 = 14, 40·48/120 = 16
夜班: 80·30/120 = 20, 80·42/120 = 28, 80·48/120 = 32
卡方统计量
χ² = (7 − 10)²/10 + (19 − 14)²/14 + (14 − 16)²/16 + (23 − 20)²/20 + (23 − 28)²/28 + (34 − 32)²/32
χ² = 4.404
答案
χ² = 4.404
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 13.28
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 − 1 = 4
表
χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277
答案
χ²crit = 13.277
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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