心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

一项横断面研究同时比较 20 岁、40 岁和 60 岁人群的科技使用情况。哪个问题可能混淆年龄比较？

A顺序效应
B练习效应
C地板效应
D同龄群体（队列）效应

2.心理学研究方法困难

一名研究者想检验一种新教学方法是否能带来更好的成绩，但无法对学生进行随机分配。在这种情况下，哪种设计能提供最强的因果证据？

A比较经过匹配的班级在教学前后的测量结果，并设有比较组
B只在教学后测量使用新方法的班级
C询问学生是否认为该方法有效
D把成绩与学生对老师的喜爱程度求相关

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：13, 58, 39, 60, 15, 20。

n = 6

s =

4.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。求成绩 103 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 5x = 103

z =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35

Var(X) =

6.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.25 赢得 €50，以概率 0.02 赢得 €500；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€50: p = 0.25€500: p = 0.02

E(G) = €

7.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 757.9 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757.9 g

P =

8.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

9.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 102 h，已知标准差 17 h。型号 2：80 部手机，均值 99 h，已知标准差 7 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 30x̄₁ = 102 hσ₁ = 17 hn₂ = 80x̄₂ = 99 hσ₂ = 7 h90%

下限 = h

10.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：11 块地，平均产量 24.5 kg，标准差 5.5 kg。地块组 2：5 块地，均值 15.5 kg，标准差 8.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 11x̄₁ = 24.5s₁ = 5.5n₂ = 5x̄₂ = 15.5s₂ = 8.590%t(14) = 1.761

E = kg

11.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 71.5 mm，该生产线的已知标准差为 19 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 69.3 mm，已知标准差为 10 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 50x̄₁ = 71.5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 40x̄₂ = 69.3 mmσ₂ = 10 mm

z =

12.假设检验与置信区间困难

25 次测量的样本均值为 77。总体标准差为 10。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 77σ = 10n = 2599%

U =

13.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (21, 45)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(21, 45)

e =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 2202 × 3

χ² =

16.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验将 9 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。该检验的自由度 df 是多少？

k = 9

df =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: D · 同龄群体（队列）效应

为什么是这个答案

不同年龄组在不同的历史条件下长大，因此差异可能反映的是代际（队列）差异，而不是衰老本身。

答案

D · 同龄群体（队列）效应

2.心理学研究方法

答案: A · 比较经过匹配的班级在教学前后的测量结果，并设有比较组

为什么是这个答案

非等组前测-后测设计控制了初始差异和随时间发生的变化，尽管它比随机实验弱。

答案

A · 比较经过匹配的班级在教学前后的测量结果，并设有比较组

3.描述统计

答案: s = 21.33

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 205/6 = 34.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−21.17)² + 23.83² + 4.833² + 25.83² + (−19.17)² + (−14.17)² = 2275

标准差

s = √(2275/5) = 21.33

答案

s = 21.33

4.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (103 − 100)/5 = 0.6

答案

z = 0.6

5.概率

答案: Var(X) = 0.6475

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

方差

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

答案

Var(X) = 0.6475

6.概率

答案: E(G) = 12.5 €

净结果

G: 40 (p = 0.25), 490 (p = 0.02), −10 (p = 0.73)

期望值

E(G) = 40·0.25 + 490·0.02 − 10·0.73 = 12.5 €

答案

E(G) = 12.5 €

正值表示平均而言你会赢钱。

7.正态分布

答案: P = 0.2119

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (757.9 − 750)/9.849 = 0.8

上尾

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

答案

P = 0.2119

8.正态分布

答案: x = 187 cm

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

答案

x = 186.97 cm

9.置信区间

答案: 下限 = −2.265 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 102 − 99 = 3

标准误

SE = √(17²/30 + 7²/80) = 3.201

误差范围

E = 1.645·3.201 = 5.265

区间

3 ± 5.265 → [−2.265, 8.265]

答案

下限 = −2.265 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

10.置信区间

答案: E = 6.174 kg

合并标准差

s_p² = (10·5.5² + 4·8.5²)/14 = 42.25

s_p = 6.5

误差范围

E = 1.761·6.5·√(1/11 + 1/5) = 6.174

答案

E = 6.174 kg

11.假设检验与置信区间

答案: z = 0.7057

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(19²/50 + 10²/40) = √9.72 = 3.118

检验统计量

z = (71.5 − 69.3)/3.118 = 0.7057

答案

z = 0.7057

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

12.假设检验与置信区间

答案: U = 82.15

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·10/√25 = 5.152

区间端点

U = 77 + 5.152 = 82.15

答案

U = 82.15

13.线性回归与相关

答案: r² = 0.9556

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 345/6 = 57.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 387.5

决定系数

r² = 80.5²/(17.5·387.5) = 0.9556

答案

r² = 0.9556

y 的变异中约有 95.56% 可由该直线解释。

14.线性回归与相关

答案: e = −4.15

均值

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 261/5 = 52.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

回归直线

b = 122/40 = 3.05

a = 52.2 − 3.05·22 = −14.9

ŷ = −14.9 + 3.05·x

预测值

ŷ = −14.9 + 3.05·21 = 49.15

残差

e = 45 − 49.15 = −4.15

答案

e = −4.15

该点位于直线下方。

15.卡方检验

答案: χ² = 2.781

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

白班: 100·55/220 = 25, 100·77/220 = 35, 100·88/220 = 40

夜班: 120·55/220 = 30, 120·77/220 = 42, 120·88/220 = 48

卡方统计量

χ² = (28 − 25)²/25 + (38 − 35)²/35 + (34 − 40)²/40 + (27 − 30)²/30 + (39 − 42)²/42 + (54 − 48)²/48

χ² = 2.781

答案

χ² = 2.781

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。

16.卡方检验

答案: df = 8

自由度

df = 9 − 1 = 8

答案

df = 8

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