描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项横断面研究同时比较 20 岁、40 岁和 60 岁人群的科技使用情况。哪个问题可能混淆年龄比较？
- A地板效应
- B同龄群体（队列）效应
- C顺序效应
- D练习效应
2.心理学研究方法困难
一项记忆研究采用重复测量设计，每个人都先学习列表 A，再学习列表 B。列表 B 的回忆成绩更好。最可能的缺陷是什么？
- A样本量太大
- B使用了顺序测量水平
- C由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
- D各组之间的个体差异
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：38, 31, 33, 36, 15, 60, 49。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。数值高于 67.2 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 12x = 67.2
P =
5.概率中等
袋中有 6 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
6 / 7
P =
6.概率困难
一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.3k = 5
P =
7.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 171 和 183.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 171x2 = 183.95
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
9.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 69.5，标准差 s = 18。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 9x̄ = 69.5s = 1899%t(8) = 3.355
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 11。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 11E = 295%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 120；已知总体标准差为 36。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 122.52。检验 H₀: μ = 120 对 H₁: μ > 120。求 p 值 p。
μ₀ = 120σ = 36n = 144x̄ = 122.52H₁: μ > μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 18。实际上均值为 83.3。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 83.3σ = 18n = 36α = 0.10
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 15Σy = 120Σx² = 55Σy² = 2910Σxy = 347
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (1.5, 54)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(1.5, 54)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2203 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 同龄群体（队列）效应
为什么是这个答案
不同年龄组在不同的历史条件下长大，因此差异可能反映的是代际（队列）差异，而不是衰老本身。
答案
B · 同龄群体（队列）效应
2.心理学研究方法
答案: C · 由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
为什么是这个答案
当所有参与者以相同顺序经历各条件时，成绩提高可能反映的是练习而不是列表本身。平衡抵消（ABBA，或一半 AB、一半 BA）可以控制这一问题。
答案
C · 由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
3.描述统计
答案: s = 14.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 262/7 = 37.43
离差平方
Σ(x − x̄)² = 0.5714² + (−6.429)² + (−4.429)² + (−1.429)² + (−22.43)² + 22.57² + 11.57² = 1210
标准差
s = √(1210/6) = 14.2
答案
s = 14.2
4.描述统计
答案: P = 0.2743
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
答案
P = 0.2743
5.概率
答案: P = 0.1923
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0.1923
答案
P = 0.1923
6.概率
答案: P = 0.025
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 5) = 21·0.35·0.72 = 21·0.00243·0.49 = 0.025
答案
P = 0.025
7.正态分布
答案: P = 0.6437
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (171 − 178)/7 = −1
z₂ = (183.95 − 178)/7 = 0.85
中间面积
P = Φ(0.85) − Φ(−1) = 0.8023 − 0.1587 = 0.6437
答案
P = 0.6437
8.正态分布
答案: P = 0.983
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01414 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.01414 = −2.12
概率
P = 1 − Φ(−2.12) = 0.983
答案
P = 0.983
9.置信区间
答案: E = 20.13
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 3.355
误差范围
E = 3.355·18/√9 = 20.13
答案
E = 20.13
10.置信区间
答案: n = 117
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·11/2)² = 116.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 117
答案
n = 117
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.2005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (122.52 − 120)/3 = 0.84
尾部面积
Φ(0.84) = 0.7995
1 − Φ(0.84) = 0.2005
p 值
p = 0.2005
答案
p = 0.2005
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 42.78 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 80 + 1.282·3 = 83.85
真实均值下的 z
z = (83.85 − 83.3)/3 = 0.182
功率
功效 = P(Z > 0.182) = 42.78%
1 − β = 42.78%
答案
1 − β = 42.78%
13.线性回归与相关
答案: r = −0.7506
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 347 − 15·120/5 = −13
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2910 − 120²/5 = 30
相关系数
r = −13/√(10·30) = −0.7506
答案
r = −0.7506
14.线性回归与相关
答案: e = 2.695
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 386/6 = 64.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114
回归直线
b = 114/17.5 = 6.514
a = 64.33 − 6.514·3.5 = 41.53
ŷ = 41.53 + 6.514·x
预测值
ŷ = 41.53 + 6.514·1.5 = 51.3
残差
e = 54 − 51.3 = 2.695
答案
e = 2.695
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 6.806
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 80·42/140 = 24, 80·98/140 = 56
不吸烟者: 60·42/140 = 18, 60·98/140 = 42
卡方统计量
χ² = (31 − 24)²/24 + (49 − 56)²/56 + (11 − 18)²/18 + (49 − 42)²/42
χ² = 6.806
答案
χ² = 6.806
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 3.175
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 18, 42
生产线 2: 30, 70
生产线 3: 18, 42
卡方统计量
χ² = (23 − 18)²/18 + (37 − 42)²/42 + (25 − 30)²/30 + (75 − 70)²/70 + (18 − 18)²/18 + (42 − 42)²/42
χ² = 3.175
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
3.175 < 5.991
答案
χ² = 3.175
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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