描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
当数据为顺序数据或明显不服从正态分布时，哪种检验用于比较两个独立组？
- A卡方检验
- B独立样本 t 检验
- CWilcoxon 符号秩检验
- DMann–Whitney U 检验
2.心理学研究方法困难
一项研究报告了两个人数相等的独立组的 t(28) = 2.50，p = .018。共有多少名参与者？
- A29
- B56
- C30
- D28
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：52, 25, 60, 20, 27, 54。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。数值低于 72.5 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 10x = 72.5
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.35, 0.25, 0.05
Var(X) =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.25 赢得 €10，以概率 0.02 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €5€10: p = 0.25€50: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.8315。求 z，保留两位小数。
A = 0.8315
z =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 80% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分80%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 8 个个体的样本，均值为 26.5，标准差 s = 8.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 8x̄ = 26.5s = 8.599%t(7) = 3.499
上限 =
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.02？
p = 0.5E = 0.0295%
n =
11.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 124，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 124s = 10n = 36
t =
12.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 201.4。总体标准差为 8。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 201.4σ = 8n = 1690%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2.5 时的 ŷ。
n = 6x = 2.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，高”的期望频数 E。
行合计 = 94列合计 = 59N = 165
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · Mann–Whitney U 检验
为什么是这个答案
Mann–Whitney U 检验比较两个无关组之间的秩次。Wilcoxon 符号秩检验用于相关样本。
答案
D · Mann–Whitney U 检验
2.心理学研究方法
答案: C · 30
为什么是这个答案
自由度为 28 意味着有 28 + 2 = 30 名参与者，每组 15 人。
答案
C · 30
3.描述统计
答案: s = 17.51
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 238/6 = 39.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = 12.33² + (−14.67)² + 20.33² + (−19.67)² + (−12.67)² + 14.33² = 1533
标准差
s = √(1533/5) = 17.51
答案
s = 17.51
4.描述统计
答案: P = 0.8944
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944
答案
P = 0.8944
5.概率
答案: Var(X) = 3.2
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 2·0.35 + 4·0.25 + 6·0.05 = 2
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 4·0.35 + 16·0.25 + 36·0.05 = 7.2
方差
Var(X) = 7.2 − 2² = 3.2
答案
Var(X) = 3.2
6.概率
答案: E(G) = −1.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 5 (p = 0.25), 45 (p = 0.02), −5 (p = 0.73)
期望值
E(G) = 5·0.25 + 45·0.02 − 5·0.73 = −1.5 €
答案
E(G) = −1.5 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: z = −0.96
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.8315 = 0.1685
反向查 z 表
在表中找到 0.1685，读出 z。
z = −0.96
答案
z = −0.96
8.正态分布
答案: x = 56.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.2
由表得到的 z
z ≈ −0.84
回到原来的单位
x = 65 − 0.84·10 = 56.6 分
答案
x = 56.6 分
9.置信区间
答案: 上限 = 37.02
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 7, t = 3.499
误差范围
E = 3.499·8.5/√8 = 10.52
区间
26.5 ± 10.52 → [15.98, 37.02]
答案
上限 = 37.02
10.置信区间
答案: n = 2401
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.02² = 2401
向上取整
n = 2401
答案
n = 2401
11.假设检验与置信区间
答案: t = 2.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667
检验统计量
t = (124 − 120)/1.667 = 2.4
答案
t = 2.4
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 204.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·8/√16 = 3.29
区间端点
U = 201.4 + 3.29 = 204.7
答案
U = 204.7
13.线性回归与相关
答案: r = 0.971
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 626/5 = 125.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2109
相关系数
r = 423/√(90·2109) = 0.971
答案
r = 0.971
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 35.07
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 219/6 = 36.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 12.5
回归直线
b = 12.5/17.5 = 0.7143
a = 36.5 − 0.7143·4.5 = 33.29
ŷ = 33.29 + 0.7143·x
预测
ŷ = 33.29 + 0.7143·2.5 = 35.07
答案
ŷ = 35.07
15.卡方检验
答案: E = 33.61
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 94·59/165 = 33.61
答案
E = 33.61
16.卡方检验
答案: χ² = 12.6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 40, 40
生产线 2: 20, 20
生产线 3: 40, 40
卡方统计量
χ² = (28 − 40)²/40 + (52 − 40)²/40 + (26 − 20)²/20 + (14 − 20)²/20 + (46 − 40)²/40 + (34 − 40)²/40
χ² = 12.6
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
12.6 > 5.991
答案
χ² = 12.6
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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