描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
最直接减少实验者偏差的方法是：
- A使用单侧假设
- B使用更大的样本
- C由不知道假设或条件的研究者收集数据
- D只使用志愿者
2.心理学研究方法困难
一项"智力"测验主要测量的是人们打字有多快。最明显缺乏的是哪种效度？
- A内部一致性
- B评分者间信度
- C结构效度
- D重测信度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：16, 17, 57, 21, 48, 25, 33。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 8。求成绩 93.6 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 8x = 93.6
z =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 2
P =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.25 赢得 €4，以概率 0.01 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€4: p = 0.25€20: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 247.75 和 260 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 247.75x2 = 260
P =
8.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 20%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 119，标准差 s = 12.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 21x̄ = 119s = 12.595%t(20) = 2.086
上限 =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：8 块地，平均产量 20 kg，标准差 7.5 kg。地块组 2：6 块地，均值 17 kg，标准差 3.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 8x̄₁ = 20s₁ = 7.5n₂ = 6x̄₂ = 17s₂ = 3.595%t(12) = 2.179
E = kg
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 80；已知总体标准差为 40。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 87.92。检验 H₀: μ = 80 对 H₁: μ ≠ 80。求 p 值 p。
μ₀ = 80σ = 40n = 100x̄ = 87.92H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ > 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 12。实际上均值为 104.05。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 104.05σ = 12n = 64α = 0.10
β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 54？
n = 6ŷ = 54
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1603 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 由不知道假设或条件的研究者收集数据
为什么是这个答案
知道假设的实验者可能无意中影响参与者或记录。单盲或双盲程序以及标准化指导语可以减少这种偏差。
答案
C · 由不知道假设或条件的研究者收集数据
2.心理学研究方法
答案: C · 结构效度
为什么是这个答案
结构效度是指一个测量是否真正反映了其背后的结构。一个测验可以很可靠，却测量了错误的东西。
答案
C · 结构效度
3.描述统计
答案: s = 15.95
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 217/7 = 31
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−15)² + (−14)² + 26² + (−10)² + 17² + (−6)² + 2² = 1526
标准差
s = √(1526/6) = 15.95
答案
s = 15.95
4.描述统计
答案: z = −0.8
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (93.6 − 100)/8 = −0.8
答案
z = −0.8
5.概率
答案: P = 0.3056
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
答案
P = 0.3056
6.概率
答案: E(G) = 0.2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 3 (p = 0.25), 19 (p = 0.01), −1 (p = 0.74)
期望值
E(G) = 3·0.25 + 19·0.01 − 1·0.74 = 0.2 €
答案
E(G) = 0.2 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.6509
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (247.75 − 250)/5 = −0.45
z₂ = (260 − 250)/5 = 2
中间面积
P = Φ(2) − Φ(−0.45) = 0.9772 − 0.3264 = 0.6509
答案
P = 0.6509
8.正态分布
答案: x = 87.38 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 分
答案
x = 87.38 分
9.置信区间
答案: 上限 = 124.7
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.086
误差范围
E = 2.086·12.5/√21 = 5.69
区间
119 ± 5.69 → [113.3, 124.7]
答案
上限 = 124.7
10.置信区间
答案: E = 7.246 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (7·7.5² + 5·3.5²)/12 = 37.92
sp = 6.158
误差范围
E = 2.179·6.158·√(1/8 + 1/6) = 7.246
答案
E = 7.246 kg
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.0477
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (87.92 − 80)/4 = 1.98
尾部面积
Φ(1.98) = 0.9761
1 − Φ(1.98) = 0.0239
p 值
p = 2·0.0239 = 0.0477
答案
p = 0.0477
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: β = 7.81 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 100 + 1.282·1.5 = 101.9
真实均值下的 z
z = (101.9 − 104.05)/1.5 = −1.418
第二类错误
功效 = P(Z > −1.418) = 92.19%
β = 100% − 92.19% = 7.81%
答案
β = 7.81%
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9661
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 222/5 = 44.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
Syy = Σ(y − ȳ)² = 507.2
决定系数
r² = 140²/(40·507.2) = 0.9661
答案
r² = 0.9661
y 的变异中约有 96.61% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: x = 2.96
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 484/6 = 80.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 462
回归直线
b = 462/70 = 6.6
a = 80.67 − 6.6·7 = 34.47
ŷ = 34.47 + 6.6·x
解出 x
x = (54 − 34.47)/6.6 = 2.96
答案
x = 2.96
15.卡方检验
答案: χ² = 1.971
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 60·45/180 = 15, 60·63/180 = 21, 60·72/180 = 24
农村: 120·45/180 = 30, 120·63/180 = 42, 120·72/180 = 48
卡方统计量
χ² = (18 − 15)²/15 + (22 − 21)²/21 + (20 − 24)²/24 + (27 − 30)²/30 + (41 − 42)²/42 + (52 − 48)²/48
χ² = 1.971
答案
χ² = 1.971
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 6.23
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 28, 12
31–50 岁: 42, 18
51 岁及以上: 42, 18
卡方统计量
χ² = (31 − 28)²/28 + (9 − 12)²/12 + (35 − 42)²/42 + (25 − 18)²/18 + (46 − 42)²/42 + (14 − 18)²/18
χ² = 6.23
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
6.23 < 9.210
答案
χ² = 6.23
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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