描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在现场实验中，研究者：
- A只观察而不操纵任何东西
- B在实验室中操纵自变量
- C在真实环境中操纵自变量
- D分析他人收集的数据
2.心理学研究方法困难
比较四个组的单因素方差分析结果显著。为找出哪些组之间存在差异，研究者下一步应该做什么？
- A断定四个组彼此之间都有差异
- B进行事后检验，如 Tukey HSD
- C把结果作为相关来报告
- D对平均数进行卡方检验
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：29, 24, 58, 45, 17, 14, 22。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 550 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 40x = 550
z =
5.概率中等
从 14 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 14k = 4
N =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.1 赢得 €8，以概率 0.01 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€8: p = 0.1€100: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 436 和 582 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 436x2 = 582
P =
8.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
9.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 22.5，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 21x̄ = 22.5s = 19.599%t(20) = 2.845
下限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 37。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 5？
σ = 37E = 599%
n =
11.假设检验与置信区间中等
15 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 0.27，差值的标准差为 1.3。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 15d̄ = 0.27sd = 1.3
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 5。求最小样本量 n。
σ = 5E = 195%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3.5, 21)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(3.5, 21)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“学生，自行车”的期望频数 E。
行合计 = 62列合计 = 53N = 174
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 在真实环境中操纵自变量
为什么是这个答案
现场实验（例如在街头设置的助人情境）提高了生态效度，但对无关变量的控制较少，并带来知情同意问题。
答案
C · 在真实环境中操纵自变量
2.心理学研究方法
答案: B · 进行事后检验，如 Tukey HSD
为什么是这个答案
显著的 F 值表明并非所有平均数都相等。事后检验或计划对比可以在控制错误率的同时确定哪些组对之间存在差异。
答案
B · 进行事后检验，如 Tukey HSD
3.描述统计
答案: s = 15.99
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 209/7 = 29.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−0.8571)² + (−5.857)² + 28.14² + 15.14² + (−12.86)² + (−15.86)² + (−7.857)² = 1535
标准差
s = √(1535/6) = 15.99
答案
s = 15.99
4.描述统计
答案: z = 1.25
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (550 − 500)/40 = 1.25
答案
z = 1.25
5.概率
答案: N = 1001
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001
答案
N = 1001
6.概率
答案: E(G) = −0.2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 6 (p = 0.1), 98 (p = 0.01), −2 (p = 0.89)
期望值
E(G) = 6·0.1 + 98·0.01 − 2·0.89 = −0.2 €
答案
E(G) = −0.2 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: P = 0.925
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (436 − 500)/40 = −1.6
z₂ = (582 − 500)/40 = 2.05
中间面积
P = Φ(2.05) − Φ(−1.6) = 0.9798 − 0.0548 = 0.925
答案
P = 0.925
8.正态分布
答案: x = 253.4 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 250 + 0.67·5 = 253.4 g
答案
x = 253.4 g
9.置信区间
答案: 下限 = 10.39
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.845
误差范围
E = 2.845·19.5/√21 = 12.11
区间
22.5 ± 12.11 → [10.39, 34.61]
答案
下限 = 10.39
10.置信区间
答案: n = 364
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·37/5)² = 363.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 364
答案
n = 364
11.假设检验与置信区间
答案: t = 0.8044
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 1.3/√15 = 0.3357
检验统计量
t = 0.27/0.3357 = 0.8044
答案
t = 0.8044
df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 97
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·5/1)² = 96.04
向上取整
n = 97
答案
n = 97
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.994
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 592/5 = 118.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1109
决定系数
r² = 210²/(40·1109) = 0.994
答案
r² = 0.994
y 的变异中约有 99.4% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = −3.2
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 125/5 = 25
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
回归直线
b = −16/10 = −1.6
a = 25 − (−1.6)·3 = 29.8
ŷ = 29.8 − 1.6·x
预测值
ŷ = 29.8 + (−1.6)·3.5 = 24.2
残差
e = 21 − 24.2 = −3.2
答案
e = −3.2
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: E = 18.89
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 62·53/174 = 18.89
答案
E = 18.89
16.卡方检验
答案: χ² = 4.271
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 16, 24
31–50 岁: 32, 48
51 岁及以上: 32, 48
卡方统计量
χ² = (14 − 16)²/16 + (26 − 24)²/24 + (27 − 32)²/32 + (53 − 48)²/48 + (39 − 32)²/32 + (41 − 48)²/48
χ² = 4.271
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
4.271 < 9.210
答案
χ² = 4.271
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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