描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
第一类错误发生在研究者：
- A拒绝了一个实际上为真的零假设
- B使用了错误的统计检验
- C收集了过多的数据
- D没有拒绝一个错误的零假设
2.心理学研究方法困难
两名观察者记录操场上的攻击行为，他们的计数相关为 r = 0.45。研究者应该怎么做？
- A接受这些数据，因为任何正相关都足够了
- B只采用两个计数中较高的那个
- C改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性
- D改用单侧假设
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：41, 37, 32, 20, 19, 54, 15。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。求成绩 70 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 8x = 70
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.25, 0.25, 0.2, 0.05
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.25 赢得 €6，以概率 0.02 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€6: p = 0.25€100: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 30 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 30 min
P =
8.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
9.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 33，标准差 s = 13。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 6x̄ = 33s = 1395%t(5) = 2.571
下限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 13。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 13E = 0.595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 117.8，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 117.8s = 8n = 64
t =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 40 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 56 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 40n₁ = 200x₂ = 56n₂ = 200
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 9 时的 ŷ。
n = 5x = 9
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，高”的期望频数 E。
行合计 = 80列合计 = 74N = 153
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 3 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 3
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 拒绝了一个实际上为真的零假设
为什么是这个答案
第一类错误是声称存在一个并不存在的效应，其概率等于显著性水平（常为 0.05）。第二类错误是漏掉了真实的效应。
答案
A · 拒绝了一个实际上为真的零假设
2.心理学研究方法
答案: C · 改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性
为什么是这个答案
观察者间信度低意味着类别的应用不一致。在正式收集数据之前，应通过更清晰的操作性定义和练习来提高一致性。
答案
C · 改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性
3.描述统计
答案: s = 14.06
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 218/7 = 31.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = 9.857² + 5.857² + 0.8571² + (−11.14)² + (−12.14)² + 22.86² + (−16.14)² = 1187
标准差
s = √(1187/6) = 14.06
答案
s = 14.06
4.描述统计
答案: z = 1.25
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (70 − 60)/8 = 1.25
答案
z = 1.25
5.概率
答案: σ = 1.203
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.25 + 4·0.2 + 5·0.05 = 2.55
平方的均值
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.25 + 16·0.2 + 25·0.05 = 7.95
方差
Var(X) = 7.95 − 2.55² = 1.448
σ = √1.448 = 1.203
答案
σ = 1.203
6.概率
答案: E(G) = 1.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.25), 98 (p = 0.02), −2 (p = 0.73)
期望值
E(G) = 4·0.25 + 98·0.02 − 2·0.73 = 1.5 €
答案
E(G) = 1.5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (30 − 32)/2.5 = −0.8
上尾
P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881
答案
P = 0.7881
8.正态分布
答案: x = 22.13 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
换算回 x
x = 32 + −1.645·6 = 22.13 min
答案
x = 22.13 min
9.置信区间
答案: 下限 = 19.36
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 2.571
误差范围
E = 2.571·13/√6 = 13.64
区间
33 ± 13.64 → [19.36, 46.64]
答案
下限 = 19.36
10.置信区间
答案: n = 2597
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·13/0.5)² = 2597
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 2597
答案
n = 2597
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
检验统计量
t = (117.8 − 120)/1 = −2.2
答案
t = −2.2
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: z = −1.873
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 40/200 = 0.2
p̂₂ = 56/200 = 0.28
p̂ = 96/400 = 0.24
H₀ 下的标准误
SE = √(0.24·0.76·(1/200 + 1/200)) = 0.04271
检验统计量
z = (0.2 − 0.28)/0.04271 = −1.873
答案
z = −1.873
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9312
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 118/6 = 19.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31
Syy = Σ(y − ȳ)² = 63.33
相关系数
r = −31/√(17.5·63.33) = −0.9312
答案
r = −0.9312
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 21.7
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 74/5 = 14.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
回归直线
b = 92/40 = 2.3
a = 14.8 − 2.3·6 = 1
ŷ = 1 + 2.3·x
预测
ŷ = 1 + 2.3·9 = 21.7
答案
ŷ = 21.7
15.卡方检验
答案: E = 38.69
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 80·74/153 = 38.69
答案
E = 38.69
16.卡方检验
答案: df = 2
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 3 − 1 = 2
答案
df = 2
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