描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
内部效度指的是：
- A测验在不同时间是否给出相同结果
- B观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
- C研究结果能否推广到该研究之外的其他总体、情境和时间
- D参与者是否觉得研究有趣
2.心理学研究方法困难
一名参与者服用药物或糖丸，但不知道是哪一种，而研究者知道。这是什么设计？还可能存在哪种偏差？
- A开放试验；安慰剂效应得到完全控制
- B双盲；不可能存在任何偏差
- C单盲；仍可能存在实验者偏差
- D单盲；不可能出现需求特征
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：20, 35, 42, 22, 35, 16, 26。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 12。数值高于 55.6 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 12x = 55.6
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 2
P =
6.概率困难
一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.6，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.6k = 2
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.5878。求 z，保留两位小数。
A = 0.5878
z =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 30% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分30%
x = 分
9.置信区间中等
基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 10.2。 用同样的数据计算 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
95%n₁ = 64E₁ = 10.290%
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 12。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 12E = 199%
n =
11.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 45.35，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 45.35s = 12n = 64
t =
12.假设检验与置信区间困难
64 次测量的样本均值为 198.3。总体标准差为 10。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 198.3σ = 10n = 6495%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4.5, 21)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(4.5, 21)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“教职工，自行车”的期望频数 E。
行合计 = 89列合计 = 65N = 160
E =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 5 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
3 × 5
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
为什么是这个答案
内部效度高意味着已排除其他解释，如混淆变量、需求特征或实验者偏差。外部效度则涉及推广性。
答案
B · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
2.心理学研究方法
答案: C · 单盲；仍可能存在实验者偏差
为什么是这个答案
在单盲设计中，参与者不知道自己所处的条件，这控制了对安慰剂的期望。研究者知情仍可能影响结果，因此首选双盲设计。
答案
C · 单盲；仍可能存在实验者偏差
3.描述统计
答案: s = 9.504
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 196/7 = 28
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−8)² + 7² + 14² + (−6)² + 7² + (−12)² + (−2)² = 542
标准差
s = √(542/6) = 9.504
答案
s = 9.504
4.描述统计
答案: P = 0.8849
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.2
标准正态分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
答案
P = 0.8849
5.概率
答案: P = 0.3056
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
答案
P = 0.3056
6.概率
答案: P = 0.1382
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 15·0.62·0.44 = 15·0.36·0.0256 = 0.1382
答案
P = 0.1382
7.正态分布
答案: z = 0.82
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.5878)/2 = 0.7939
反向查 z 表
在表中找到 0.7939，读出 z。
z = 0.82
答案
z = 0.82
8.正态分布
答案: x = 70.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.7
由表得到的 z
z ≈ 0.52
回到原来的单位
x = 65 + 0.52·10 = 70.2 分
答案
x = 70.2 分
9.置信区间
答案: E₂ = 8.561
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(64/64) = 0.8393
新的误差范围
E₂ = 10.2·0.8393 = 8.561
答案
E₂ = 8.561
10.置信区间
答案: n = 956
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·12/1)² = 955.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 956
答案
n = 956
11.假设检验与置信区间
答案: t = −3.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5
检验统计量
t = (45.35 − 50)/1.5 = −3.1
答案
t = −3.1
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 195.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·10/√64 = 2.45
区间端点
L = 198.3 − 2.45 = 195.9
答案
L = 195.9
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9496
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31
Syy = Σ(y − ȳ)² = 101.2
决定系数
r² = −31²/(10·101.2) = 0.9496
答案
r² = 0.9496
y 的变异中约有 94.96% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = 3.929
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 117/6 = 19.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42.5
回归直线
b = −42.5/17.5 = −2.429
a = 19.5 − (−2.429)·3.5 = 28
ŷ = 28 − 2.429·x
预测值
ŷ = 28 + (−2.429)·4.5 = 17.07
残差
e = 21 − 17.07 = 3.929
答案
e = 3.929
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: E = 36.16
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 89·65/160 = 36.16
答案
E = 36.16
16.卡方检验
答案: df = 8
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
答案
df = 8
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology