描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
内部效度指的是：
- A参与者是否觉得研究有趣
- B测验在不同时间是否给出相同结果
- C研究结果能否推广到该研究之外的其他总体、情境和时间
- D观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
2.心理学研究方法困难
一个自评量表发现，同意很多陈述的人不论内容如何都会得高分。这是哪种反应偏差？如何减少？
- A顺序效应；对参与者进行平衡抵消
- B需求特征；使用双盲设计
- C社会赞许性偏差；使用更大的样本
- D默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：57, 15, 52, 23, 43, 12。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。数值低于 75 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 5x = 75
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.15, 0.1, 0.3, 0.3
Var(X) =
6.概率困难
一份测试有 8 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.7k = 2
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.4177。求 z，保留两位小数。
A = 0.4177
z =
8.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 15% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分15%
x = 分
9.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −2.9，标准差为 3.4。 求平均差值的 99% 置信区间的下限。
n = 7d̄ = −2.9sd = 3.499%t(6) = 3.707
下限 = mmHg
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：9 块地，平均产量 91 kg，标准差 8.5 kg。地块组 2：5 块地，均值 94 kg，标准差 3.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 9x̄₁ = 91s₁ = 8.5n₂ = 5x̄₂ = 94s₂ = 3.590%t(12) = 1.782
上限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 499.3，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 499.3s = 4n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
64 次测量的样本均值为 77.8。总体标准差为 8。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 77.8σ = 8n = 6499%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 4.5 时的 ŷ。
n = 6x = 4.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“教职工，公交车”的期望频数 E。
行合计 = 67列合计 = 40N = 142
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2603 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
为什么是这个答案
内部效度高意味着已排除其他解释，如混淆变量、需求特征或实验者偏差。外部效度则涉及推广性。
答案
D · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
2.心理学研究方法
答案: D · 默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
为什么是这个答案
默认偏差是一种倾向于同意题目的倾向。混合正向和反向措辞的题目，意味着对一切都表示同意不再会产生极端分数。
答案
D · 默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
3.描述统计
答案: s = 19.49
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 202/6 = 33.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = 23.33² + (−18.67)² + 18.33² + (−10.67)² + 9.333² + (−21.67)² = 1899
标准差
s = √(1899/5) = 19.49
答案
s = 19.49
4.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答案
P = 0.8413
5.概率
答案: Var(X) = 2.047
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.15 + 1·0.15 + 2·0.1 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.45
平方的均值
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.15 + 4·0.1 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.05
方差
Var(X) = 8.05 − 2.45² = 2.047
答案
Var(X) = 2.047
6.概率
答案: P = 0.01
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 28·0.72·0.36 = 28·0.49·0.000729 = 0.01
答案
P = 0.01
7.正态分布
答案: z = 0.55
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.4177)/2 = 0.7088
反向查 z 表
在表中找到 0.7088，读出 z。
z = 0.55
答案
z = 0.55
8.正态分布
答案: x = 84.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 100 − 1.04·15 = 84.4 分
答案
x = 84.4 分
9.置信区间
答案: 下限 = −7.664 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 3.707
误差范围
E = 3.707·3.4/√7 = 4.764
区间
−2.9 ± 4.764 → [−7.664, 1.864]
答案
下限 = −7.664 mmHg
10.置信区间
答案: 上限 = 4.185 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (8·8.5² + 4·3.5²)/12 = 52.25
sp = 7.228
误差范围
E = 1.782·7.228·√(1/9 + 1/5) = 7.185
区间
−3 ± 7.185 → [−10.18, 4.185]
答案
上限 = 4.185 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = −0.875
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
检验统计量
t = (499.3 − 500)/0.8 = −0.875
答案
t = −0.875
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 75.22
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·8/√64 = 2.576
区间端点
L = 77.8 − 2.576 = 75.22
答案
L = 75.22
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9216
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 259/5 = 51.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53
Syy = Σ(y − ȳ)² = 304.8
决定系数
r² = 53²/(10·304.8) = 0.9216
答案
r² = 0.9216
y 的变异中约有 92.16% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 53.1
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 332/6 = 55.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39
回归直线
b = 39/17.5 = 2.229
a = 55.33 − 2.229·5.5 = 43.08
ŷ = 43.08 + 2.229·x
预测
ŷ = 43.08 + 2.229·4.5 = 53.1
答案
ŷ = 53.1
15.卡方检验
答案: E = 18.87
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 67·40/142 = 18.87
答案
E = 18.87
16.卡方检验
答案: χ² = 24.68
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 60, 40
31–50 岁: 48, 32
51 岁及以上: 48, 32
卡方统计量
χ² = (41 − 60)²/60 + (59 − 40)²/40 + (56 − 48)²/48 + (24 − 32)²/32 + (59 − 48)²/48 + (21 − 32)²/32
χ² = 24.68
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
24.68 > 9.210
答案
χ² = 24.68
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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