描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
哪种设计在每个条件中使用不同的参与者？
- A重复测量设计
- B用同一批人的配对设计
- C被试内设计
- D独立组设计
2.心理学研究方法困难
一项研究表明，某问卷与同一构念的成熟测验高度相关。这支持：
- A生态效度
- B表面效度
- C重测信度
- D同时效度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：10, 15, 53, 45, 52。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值高于 60.4 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 8x = 60.4
P =
5.概率中等
从 9 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 9k = 2
N =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 2X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.35, 0.15Y = 2X + 10
σY =
7.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 22.4 和 43.1 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 22.4x2 = 43.1
P =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 70% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分70%
x = 分
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 86.5 h，已知标准差 18 h。型号 2：40 部手机，均值 84.5 h，已知标准差 16 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 40x̄₁ = 86.5 hσ₁ = 18 hn₂ = 40x̄₂ = 84.5 hσ₂ = 16 h99%
E = h
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.3 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.01？
p ≈ 0.3E = 0.0195%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 10。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 102。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ > 100。求 p 值 p。
μ₀ = 100σ = 10n = 25x̄ = 102H₁: μ > μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 12。求最小样本量 n。
σ = 12E = 390%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 7？
n = 6ŷ = 7
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 独立组设计
为什么是这个答案
独立组设计中每个条件的参与者不同，可避免顺序效应，但存在被试变量的风险。
答案
D · 独立组设计
2.心理学研究方法
答案: D · 同时效度
为什么是这个答案
当新测量与大致同时进行的成熟测量结果一致时，就证明了同时效度。
答案
D · 同时效度
3.描述统计
答案: s = 20.84
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 175/5 = 35
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−25)² + (−20)² + 18² + 10² + 17² = 1738
标准差
s = √(1738/4) = 20.84
答案
s = 20.84
4.描述统计
答案: P = 0.8849
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.2
标准正态分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
答案
P = 0.8849
5.概率
答案: N = 36
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36
答案
N = 36
6.概率
答案: σY = 2.2
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.3, Var(X) = 1.21, σX = 1.1
线性变换
σY = |2|·1.1 = 2.2
答案
σY = 2.2
均值确实会改变：E(Y) = 2·2.3 + 10 = 14.6。
7.正态分布
答案: P = 0.913
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (22.4 − 32)/6 = −1.6
z₂ = (43.1 − 32)/6 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1.6) = 0.9678 − 0.0548 = 0.913
答案
P = 0.913
8.正态分布
答案: x = 59.8 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.3
由表得到的 z
z ≈ −0.52
回到原来的单位
x = 65 − 0.52·10 = 59.8 分
答案
x = 59.8 分
9.置信区间
答案: E = 9.809 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 86.5 − 84.5 = 2
标准误
SE = √(18²/40 + 16²/40) = 3.808
误差范围
E = 2.576·3.808 = 9.809
答案
E = 9.809 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
10.置信区间
答案: n = 8068
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.3·0.7/0.01² = 8067
向上取整
n = 8068
答案
n = 8068
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.1587
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (102 − 100)/2 = 1
尾部面积
Φ(1) = 0.8413
1 − Φ(1) = 0.1587
p 值
p = 0.1587
答案
p = 0.1587
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 44
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·12/3)² = 43.3
向上取整
n = 44
答案
n = 44
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9062
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 407/5 = 81.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58
Syy = Σ(y − ȳ)² = 371.2
决定系数
r² = 58²/(10·371.2) = 0.9062
答案
r² = 0.9062
y 的变异中约有 90.62% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: x = 5.038
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 61/6 = 10.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113
回归直线
b = 113/70 = 1.614
a = 10.17 − 1.614·7 = −1.133
ŷ = −1.133 + 1.614·x
解出 x
x = (7 − (−1.133))/1.614 = 5.038
答案
x = 5.038
15.卡方检验
答案: χ² = 0.7326
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 40·65/100 = 26, 40·35/100 = 14
不吸烟者: 60·65/100 = 39, 60·35/100 = 21
卡方统计量
χ² = (28 − 26)²/26 + (12 − 14)²/14 + (37 − 39)²/39 + (23 − 21)²/21
χ² = 0.7326
答案
χ² = 0.7326
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 4.983
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 36, 24
生产线 2: 48, 32
生产线 3: 36, 24
卡方统计量
χ² = (43 − 36)²/36 + (17 − 24)²/24 + (45 − 48)²/48 + (35 − 32)²/32 + (32 − 36)²/36 + (28 − 24)²/24
χ² = 4.983
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
4.983 < 9.210
答案
χ² = 4.983
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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