描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在一项相关研究中，r = 0.40。一个变量的方差中有多大比例与另一个变量共享？
- A4%
- B40%
- C60%
- D16%
2.心理学研究方法困难
一名研究者想证明一个新的焦虑量表测量的东西不同于抑郁。与抑郁量表的低相关会支持：
- A区分效度
- B预测效度
- C聚合效度
- D表面效度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：57, 50, 47, 42, 24。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。数值低于 70 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 10x = 70
P =
5.概率中等
从 6 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 6k = 3
N =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.2 赢得 €20，以概率 0.02 赢得 €500；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €10€20: p = 0.2€500: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量低于 629.1 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8< 629.1 kg
P =
8.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 80%
x = min
9.置信区间中等
基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 2.5。 用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 25E₁ = 2.595%
E₂ =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：13 块地，平均产量 91 kg，标准差 7 kg。地块组 2：18 块地，均值 80 kg，标准差 2.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 13x̄₁ = 91s₁ = 7n₂ = 18x̄₂ = 80s₂ = 2.590%t(29) = 1.699
E = kg
11.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 206，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 206s = 15n = 36
t =
12.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 81.2。总体标准差为 20。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 81.2σ = 20n = 8199%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 126Σy = 654Σx² = 2716Σy² = 73354Σxy = 14112
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 28？
n = 6ŷ = 28
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2603 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 16%
为什么是这个答案
决定系数为 r²，这里是 0.40² = 0.16，因此有 16% 的方差是共享的。
答案
D · 16%
2.心理学研究方法
答案: A · 区分效度
为什么是这个答案
当一个测量与其他结构的测量相关较弱时，就显示出区分（发散）效度。聚合效度则是与同一结构的测量高度相关。
答案
A · 区分效度
3.描述统计
答案: s = 12.43
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 220/5 = 44
离差平方
Σ(x − x̄)² = 13² + 6² + 3² + (−2)² + (−20)² = 618
标准差
s = √(618/4) = 12.43
答案
s = 12.43
4.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答案
P = 0.8413
5.概率
答案: N = 20
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
答案
N = 20
6.概率
答案: E(G) = 4 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 10 (p = 0.2), 490 (p = 0.02), −10 (p = 0.78)
期望值
E(G) = 10·0.2 + 490·0.02 − 10·0.78 = 4 €
答案
E(G) = 4 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.06681
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33.94 kg
标准化
z = (629.1 − 680)/33.94 = −1.5
概率
P = Φ(−1.5) = 0.06681
答案
P = 0.06681
8.正态分布
答案: x = 37.05 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
换算回 x
x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min
答案
x = 37.05 min
9.置信区间
答案: E₂ = 2.979
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(25/25) = 1.191
新的误差范围
E₂ = 2.5·1.191 = 2.979
答案
E₂ = 2.979
10.置信区间
答案: E = 3.026 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (12·7² + 17·2.5²)/29 = 23.94
sp = 4.893
误差范围
E = 1.699·4.893·√(1/13 + 1/18) = 3.026
答案
E = 3.026 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = 2.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5
检验统计量
t = (206 − 200)/2.5 = 2.4
答案
t = 2.4
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 75.48
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·20/√81 = 5.724
区间端点
L = 81.2 − 5.724 = 75.48
答案
L = 75.48
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9935
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 14112 − 126·654/6 = 378
Sxx = 2716 − 126²/6 = 70
Syy = 73354 − 654²/6 = 2068
相关系数
r = 378/√(70·2068) = 0.9935
答案
r = 0.9935
14.线性回归与相关
答案: x = 9.059
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 135/6 = 22.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 187
回归直线
b = 187/70 = 2.671
a = 22.5 − 2.671·7 = 3.8
ŷ = 3.8 + 2.671·x
解出 x
x = (28 − 3.8)/2.671 = 9.059
答案
x = 9.059
15.卡方检验
答案: χ² = 22.6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 60·90/180 = 30, 60·45/180 = 15, 60·45/180 = 15
教职工: 120·90/180 = 60, 120·45/180 = 30, 120·45/180 = 30
卡方统计量
χ² = (22 − 30)²/30 + (10 − 15)²/15 + (28 − 15)²/15 + (68 − 60)²/60 + (35 − 30)²/30 + (17 − 30)²/30
χ² = 22.6
答案
χ² = 22.6
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 47.67
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 48, 12
工厂 B: 80, 20
工厂 C: 80, 20
卡方统计量
χ² = (49 − 48)²/48 + (11 − 12)²/12 + (99 − 80)²/80 + (1 − 20)²/20 + (60 − 80)²/80 + (40 − 20)²/20
χ² = 47.67
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
47.67 > 5.991
答案
χ² = 47.67
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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