描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名研究者研究性别对记忆得分的影响。为什么这是准实验而不是真实验？
- A只有两个条件，而真实验至少需要自变量有三个水平
- B自变量是预先存在的特征，因此无法把参与者随机分配到各水平
- C研究在实验室中进行
- D没有测量因变量
2.心理学研究方法困难
一项元分析综合了某种疗法的 40 项研究。为什么其总体效应量仍可能过大？
- A由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
- B综合多项研究总能消除所有偏差
- C元分析不能纳入随机对照试验
- D元分析得出的效应总是小于其所纳入的单项研究
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：13, 51, 30, 19, 54, 55, 28。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。数值低于 85 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 10x = 85
P =
5.概率中等
袋中有 8 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
8 / 7
P =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.3 赢得 €10，以概率 0.01 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €5€10: p = 0.3€100: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9850。求 z，保留两位小数。
A = 0.9850
z =
8.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
9.置信区间中等
基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 6.4。 如果同一研究改用 576 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 64E₁ = 6.4n₂ = 576
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 24。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 24E = 2.595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 86.5 mm，该生产线的已知标准差为 7 mm。生产线 2：50 个零件的样本均值为 88.6 mm，已知标准差为 8 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 50x̄₁ = 86.5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 88.6 mmσ₂ = 8 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 4。求最小样本量 n。
σ = 4E = 295%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 25？
n = 6ŷ = 25
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 4 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 自变量是预先存在的特征，因此无法把参与者随机分配到各水平
为什么是这个答案
在准实验中，自变量是人与人之间自然存在的差异。没有随机分配，各组之间的其他差异就可能混淆结果。
答案
B · 自变量是预先存在的特征，因此无法把参与者随机分配到各水平
2.心理学研究方法
答案: A · 由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
为什么是这个答案
如果零结果较少被发表，合并效应就会被夸大。漏斗图和检索未发表数据有助于发现并减少这一问题。
答案
A · 由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
3.描述统计
答案: s = 17.45
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 250/7 = 35.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−22.71)² + 15.29² + (−5.714)² + (−16.71)² + 18.29² + 19.29² + (−7.714)² = 1827
标准差
s = √(1827/6) = 17.45
答案
s = 17.45
4.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答案
P = 0.06681
5.概率
答案: P = 0.2667
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0.2667
答案
P = 0.2667
6.概率
答案: E(G) = −1 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 5 (p = 0.3), 95 (p = 0.01), −5 (p = 0.69)
期望值
E(G) = 5·0.3 + 95·0.01 − 5·0.69 = −1 €
答案
E(G) = −1 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: z = −2.17
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9850 = 0.0150
反向查 z 表
在表中找到 0.0150，读出 z。
z = −2.17
答案
z = −2.17
8.正态分布
答案: x = 261.6 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 250 + 2.326·5 = 261.63 g
答案
x = 261.63 g
9.置信区间
答案: E₂ = 2.133
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(64/576) = 0.3333
新的误差范围
E₂ = 6.4·0.3333 = 2.133
答案
E₂ = 2.133
10.置信区间
答案: n = 355
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·24/2.5)² = 354
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 355
答案
n = 355
11.假设检验与置信区间
答案: z = −1.397
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(7²/50 + 8²/50) = √2.26 = 1.503
检验统计量
z = (86.5 − 88.6)/1.503 = −1.397
答案
z = −1.397
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 16
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·4/2)² = 15.37
向上取整
n = 16
答案
n = 16
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9743
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 56/5 = 11.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 76.8
相关系数
r = 54/√(40·76.8) = 0.9743
答案
r = 0.9743
14.线性回归与相关
答案: x = 1.593
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 116/6 = 19.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52
回归直线
b = −52/17.5 = −2.971
a = 19.33 − (−2.971)·3.5 = 29.73
ŷ = 29.73 − 2.971·x
解出 x
x = (25 − 29.73)/(−2.971) = 1.593
答案
x = 1.593
15.卡方检验
答案: χ² = 13.44
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 100·64/160 = 40, 100·96/160 = 60
不吸烟者: 60·64/160 = 24, 60·96/160 = 36
卡方统计量
χ² = (29 − 40)²/40 + (71 − 60)²/60 + (35 − 24)²/24 + (25 − 36)²/36
χ² = 13.44
答案
χ² = 13.44
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 21.67
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9
表
χ²crit(df = 9, α = 0.01) = 21.666
答案
χ²crit = 21.666
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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