描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
为什么在收集数据之前要对观察中的行为类别进行操作化？
- A让参与者确切知道哪些行为被记录
- B使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
- C以便在看到数据后修改假设
- D使观察变成实验
2.心理学研究方法困难
实验中把参与者随机分配到各条件的主要目的是什么？
- A使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
- B确保参与者不知道研究目的
- C提高应答率
- D使样本能代表目标总体，从而使结果可以推广
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：54, 24, 19, 14, 47, 46。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 56.25 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 5x = 56.25
z =
5.概率中等
袋中有 4 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
4 / 8
P =
6.概率困难
一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.7k = 4
P =
7.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 10 个的总质量超过 117.5 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 10> 117.5 kg
P =
8.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g75%
x = g
9.置信区间中等
基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 10.6。 基于 50 个观测值的 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 25E₁ = 10.699%n₂ = 50
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 26。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 26E = 299%
n =
11.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 499.2，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 499.2s = 4n = 81
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 12。求最小样本量 n。
σ = 12E = 1.595%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 5x = 3.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 802 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2403 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
为什么是这个答案
清晰、可观察的类别（例如"用张开的手打人"）减少主观判断，提高观察者间信度。
答案
B · 使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
2.心理学研究方法
答案: A · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
为什么是这个答案
随机分配平衡了各条件间的个体差异，支持因果结论；随机抽样则关系到向总体的推广。
答案
A · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
3.描述统计
答案: s = 16.96
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 204/6 = 34
离差平方
Σ(x − x̄)² = 20² + (−10)² + (−15)² + (−20)² + 13² + 12² = 1438
标准差
s = √(1438/5) = 16.96
答案
s = 16.96
4.描述统计
答案: z = 1.25
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (56.25 − 50)/5 = 1.25
答案
z = 1.25
5.概率
答案: P = 0.09091
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0.09091
答案
P = 0.09091
6.概率
答案: P = 0.3601
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 4) = 5·0.74·0.31 = 5·0.2401·0.3 = 0.3601
答案
P = 0.3601
7.正态分布
答案: P = 0.8389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 120 kg, σT = 0.8·√10 = 2.53 kg
标准化
z = (117.5 − 120)/2.53 = −0.99
概率
P = 1 − Φ(−0.99) = 0.8389
答案
P = 0.8389
8.正态分布
答案: x = 253.4 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 250 + 0.67·5 = 253.4 g
答案
x = 253.4 g
9.置信区间
答案: E₂ = 11.74
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/50) = 1.107
新的误差范围
E₂ = 10.6·1.107 = 11.74
答案
E₂ = 11.74
10.置信区间
答案: n = 1122
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·26/2)² = 1121
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1122
答案
n = 1122
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444
检验统计量
t = (499.2 − 500)/0.4444 = −1.8
答案
t = −1.8
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 246
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·12/1.5)² = 245.9
向上取整
n = 246
答案
n = 246
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9602
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 113/6 = 18.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 170.8
相关系数
r = −52.5/√(17.5·170.8) = −0.9602
答案
r = −0.9602
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 19.85
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 105/5 = 21
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
回归直线
b = −23/10 = −2.3
a = 21 − (−2.3)·3 = 27.9
ŷ = 27.9 − 2.3·x
预测
ŷ = 27.9 + (−2.3)·3.5 = 19.85
答案
ŷ = 19.85
15.卡方检验
答案: χ² = 3.232
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 40·44/80 = 22, 40·36/80 = 18
不吸烟者: 40·44/80 = 22, 40·36/80 = 18
卡方统计量
χ² = (26 − 22)²/22 + (14 − 18)²/18 + (18 − 22)²/22 + (22 − 18)²/18
χ² = 3.232
答案
χ² = 3.232
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 15.54
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 42, 18
生产线 2: 56, 24
生产线 3: 70, 30
卡方统计量
χ² = (30 − 42)²/42 + (30 − 18)²/18 + (63 − 56)²/56 + (17 − 24)²/24 + (75 − 70)²/70 + (25 − 30)²/30
χ² = 15.54
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
15.54 > 9.210
答案
χ² = 15.54
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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