描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
专家检查一份数学考试的题目是否涵盖了教学大纲中的所有主题。这评估的是：
- A内容效度
- B预测效度
- C重测信度
- D生态效度
2.心理学研究方法困难
一项研究表明，某问卷与同一构念的成熟测验高度相关。这支持：
- A重测信度
- B生态效度
- C表面效度
- D同时效度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：40, 13, 44, 30, 48, 55, 48。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。求成绩 30 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 10x = 30
z =
5.概率中等
袋中有 3 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
3 / 3
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.15, 0.35, 0.15Y = 3X + 4
σY =
7.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 248.75 和 259.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 248.75x2 = 259.25
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 10.8。 基于 900 个观测值的 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 100E₁ = 10.895%n₂ = 900
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 32。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 5？
σ = 32E = 590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 113.8，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 113.8s = 10n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 20。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 90%δ = 5σ = 20zα = 2.326zβ = 1.282
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 5 时的 ŷ。
n = 5x = 5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，严重”的期望频数 E。
行合计 = 85列合计 = 46N = 126
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 内容效度
为什么是这个答案
内容效度是指一个测量涵盖该结构所有相关方面的程度，通常由专家判断。
答案
A · 内容效度
2.心理学研究方法
答案: D · 同时效度
为什么是这个答案
当新测量与大致同时进行的成熟测量结果一致时，就证明了同时效度。
答案
D · 同时效度
3.描述统计
答案: s = 14.13
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 278/7 = 39.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = 0.2857² + (−26.71)² + 4.286² + (−9.714)² + 8.286² + 15.29² + 8.286² = 1197
标准差
s = √(1197/6) = 14.13
答案
s = 14.13
4.描述统计
答案: z = −2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (30 − 50)/10 = −2
答案
z = −2
5.概率
答案: P = 0.2
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0.2
答案
P = 0.2
6.概率
答案: σY = 6.6
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.6, Var(X) = 4.84, σX = 2.2
线性变换
σY = |3|·2.2 = 6.6
答案
σY = 6.6
均值确实会改变：E(Y) = 3·2.6 + 4 = 11.8。
7.正态分布
答案: P = 0.5665
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (248.75 − 250)/5 = −0.25
z₂ = (259.25 − 250)/5 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−0.25) = 0.9678 − 0.4013 = 0.5665
答案
P = 0.5665
8.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
9.置信区间
答案: E₂ = 4.289
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/900) = 0.3972
新的误差范围
E₂ = 10.8·0.3972 = 4.289
答案
E₂ = 4.289
10.置信区间
答案: n = 111
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·32/5)² = 110.8
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 111
答案
n = 111
11.假设检验与置信区间
答案: t = −3.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
检验统计量
t = (113.8 − 120)/2 = −3.1
答案
t = −3.1
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 209
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 1.282)·20/5)² = 208.3
向上取整
n = 209
答案
n = 209
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9574
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 96/5 = 19.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Syy = Σ(y − ȳ)² = 118.8
相关系数
r = −33/√(10·118.8) = −0.9574
答案
r = −0.9574
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 14.95
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 87/5 = 17.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98
回归直线
b = 98/40 = 2.45
a = 17.4 − 2.45·6 = 2.7
ŷ = 2.7 + 2.45·x
预测
ŷ = 2.7 + 2.45·5 = 14.95
答案
ŷ = 14.95
15.卡方检验
答案: E = 31.03
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 85·46/126 = 31.03
答案
E = 31.03
16.卡方检验
答案: χ² = 8.127
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 30, 70
31–50 岁: 12, 28
51 岁及以上: 18, 42
卡方统计量
χ² = (22 − 30)²/30 + (78 − 70)²/70 + (12 − 12)²/12 + (28 − 28)²/28 + (26 − 18)²/18 + (34 − 42)²/42
χ² = 8.127
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
8.127 > 5.991
答案
χ² = 8.127
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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