心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

实验中使用标准化指导语是为了：

A让所有参与者以相同的方式获得相同的信息
B使结果具有统计显著性
C研究者可以根据每位参与者的需要调整程序
D让参与者自己选择条件

2.心理学研究方法困难

两名观察者记录操场上的攻击行为，他们的计数相关为 r = 0.45。研究者应该怎么做？

A只采用两个计数中较高的那个
B接受这些数据，因为任何正相关都足够了
C改用单侧假设
D改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：55, 39, 15, 45, 42。

n = 5

s =

4.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 8。求成绩 116 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 8x = 116

z =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.25, 0.1, 0.3

Var(X) =

6.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 10X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.25, 0.2, 0.3Y = 10X + 5

σ_Y =

7.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.8531。求 z，保留两位小数。

A = 0.8531

z =

8.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 97.5%

x = 分

9.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 45 h，已知标准差 3 h。型号 2：100 部手机，均值 39.5 h，已知标准差 13 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。

n₁ = 40x̄₁ = 45 hσ₁ = 3 hn₂ = 100x̄₂ = 39.5 hσ₂ = 13 h99%

下限 = h

10.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：5 块地，平均产量 62 kg，标准差 8.5 kg。地块组 2：21 块地，均值 64 kg，标准差 9.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 5x̄₁ = 62s₁ = 8.5n₂ = 21x̄₂ = 64s₂ = 9.590%t(24) = 1.711

E = kg

11.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 79.5，标准差 3.5。第 2 组：5 名学生，平均分 87.1，标准差 10.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 7x̄₁ = 79.5s₁ = 3.5n₂ = 5x̄₂ = 87.1s₂ = 10.5

t =

12.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 40 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 163 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 40n₁ = 80x₂ = 163n₂ = 250

z =

13.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 100Σy = 239Σx² = 2090Σy² = 12707Σxy = 5110

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 12？

n = 6ŷ = 12

x =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1602 × 3

χ² =

16.卡方检验困难

对一个 3 行 5 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²_crit。

α = 0.05

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: A · 让所有参与者以相同的方式获得相同的信息

为什么是这个答案

标准化消除了程序差异这一无关变量，并使研究可以重复。

答案

A · 让所有参与者以相同的方式获得相同的信息

2.心理学研究方法

答案: D · 改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性

为什么是这个答案

观察者间信度低意味着类别的应用不一致。在正式收集数据之前，应通过更清晰的操作性定义和练习来提高一致性。

答案

D · 改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性

3.描述统计

答案: s = 14.81

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 196/5 = 39.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = 15.8² + (−0.2)² + (−24.2)² + 5.8² + 2.8² = 876.8

标准差

s = √(876.8/4) = 14.81

答案

s = 14.81

4.描述统计

答案: z = 2

标准化

z = (116 − 100)/8 = 2

答案

z = 2

5.概率

答案: Var(X) = 6.11

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 2·0.25 + 4·0.1 + 6·0.3 = 2.7

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.25 + 16·0.1 + 36·0.3 = 13.4

方差

Var(X) = 13.4 − 2.7² = 6.11

答案

Var(X) = 6.11

6.概率

答案: σ_Y = 11.61

X 的离散程度

μ = 1.55, Var(X) = 1.348, σ_X = 1.161

线性变换

σ_Y = |10|·1.161 = 11.61

答案

σ_Y = 11.61

均值确实会改变：E(Y) = 10·1.55 + 5 = 20.5。

7.正态分布

答案: z = −1.05

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.8531 = 0.1469

反向查 z 表

在表中找到 0.1469，读出 z。

z = −1.05

答案

z = −1.05

8.正态分布

答案: x = 84.6 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 65 + 1.96·10 = 84.6 分

答案

x = 84.6 分

9.置信区间

答案: 下限 = 1.935 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 45 − 39.5 = 5.5

标准误

SE = √(3²/40 + 13²/100) = 1.384

误差范围

E = 2.576·1.384 = 3.565

区间

5.5 ± 3.565 → [1.935, 9.065]

答案

下限 = 1.935 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

10.置信区间

答案: E = 7.953 kg

合并标准差

s_p² = (4·8.5² + 20·9.5²)/24 = 87.25

s_p = 9.341

误差范围

E = 1.711·9.341·√(1/5 + 1/21) = 7.953

答案

E = 7.953 kg

11.假设检验与置信区间

答案: t = −1.81

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (6·3.5² + 4·10.5²)/10 = 51.45

s_p = 7.173

标准误

SE = 7.173·√(1/7 + 1/5) = 4.2

检验统计量

t = (79.5 − 87.1)/4.2 = −1.81

答案

t = −1.81

df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

12.假设检验与置信区间

答案: z = −2.432

样本比例

p̂₁ = 40/80 = 0.5

p̂₂ = 163/250 = 0.652

p̂ = 203/330 = 0.6152

H₀ 下的标准误

SE = √(0.6152·0.3848·(1/80 + 1/250)) = 0.0625

检验统计量

z = (0.5 − 0.652)/0.0625 = −2.432

答案

z = −2.432

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

13.线性回归与相关

答案: r = 0.9712

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 5110 − 100·239/5 = 330

S_xx = 2090 − 100²/5 = 90

S_yy = 12707 − 239²/5 = 1283

答案

r = 0.9712

14.线性回归与相关

答案: x = 7.723

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 65/6 = 10.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113

回归直线

b = 113/70 = 1.614

a = 10.83 − 1.614·7 = −0.4667

ŷ = −0.4667 + 1.614·x

解出 x

x = (12 − (−0.4667))/1.614 = 7.723

答案

x = 7.723

15.卡方检验

答案: χ² = 14.6

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

学生: 40·80/160 = 20, 40·40/160 = 10, 40·40/160 = 10

教职工: 120·80/160 = 60, 120·40/160 = 30, 120·40/160 = 30

卡方统计量

χ² = (13 − 20)²/20 + (8 − 10)²/10 + (19 − 10)²/10 + (67 − 60)²/60 + (32 − 30)²/30 + (21 − 30)²/30

χ² = 14.6

答案

χ² = 14.6

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ²_crit = 15.51

自由度

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

表

χ²_crit(df = 8, α = 0.05) = 15.507

答案

χ²_crit = 15.507

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

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