描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
第一类错误发生在研究者：
- A没有拒绝一个错误的零假设
- B使用了错误的统计检验
- C拒绝了一个实际上为真的零假设
- D收集了过多的数据
2.心理学研究方法困难
实验中把参与者随机分配到各条件的主要目的是什么？
- A使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
- B提高应答率
- C使样本能代表目标总体，从而使结果可以推广
- D确保参与者不知道研究目的
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：26, 49, 13, 22, 23。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 40 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 5x = 40
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.2, 0.2, 0.05, 0.3
σ =
6.概率困难
测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.2
P =
7.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 462 和 580 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 462x2 = 580
P =
8.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 97.5%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 7 个个体的样本，均值为 34.5，标准差 s = 3.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 7x̄ = 34.5s = 3.599%t(6) = 3.707
上限 =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：21 块地，平均产量 46 kg，标准差 8 kg。地块组 2：10 块地，均值 47.5 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 21x̄₁ = 46s₁ = 8n₂ = 10x̄₂ = 47.5s₂ = 995%t(29) = 2.045
上限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 5。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 49.14。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ < 50。求 p 值 p。
μ₀ = 50σ = 5n = 25x̄ = 49.14H₁: μ < μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 38 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 32 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 32n₂ = 200
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (7, 75)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(7, 75)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 9 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 9
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 拒绝了一个实际上为真的零假设
为什么是这个答案
第一类错误是声称存在一个并不存在的效应，其概率等于显著性水平（常为 0.05）。第二类错误是漏掉了真实的效应。
答案
C · 拒绝了一个实际上为真的零假设
2.心理学研究方法
答案: A · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
为什么是这个答案
随机分配平衡了各条件间的个体差异，支持因果结论；随机抽样则关系到向总体的推广。
答案
A · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
3.描述统计
答案: s = 13.43
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 133/5 = 26.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−0.6)² + 22.4² + (−13.6)² + (−4.6)² + (−3.6)² = 721.2
标准差
s = √(721.2/4) = 13.43
答案
s = 13.43
4.描述统计
答案: z = −2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (40 − 50)/5 = −2
答案
z = −2
5.概率
答案: σ = 1.564
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.2 + 4·0.05 + 5·0.3 = 2.95
平方的均值
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.2 + 16·0.05 + 25·0.3 = 11.15
方差
Var(X) = 11.15 − 2.95² = 2.447
σ = √2.447 = 1.564
答案
σ = 1.564
6.概率
答案: P = 0.5767
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.87 = 0.2097
P(X = 1) = 7·0.2·0.86 = 0.367
相加
P = 0.2097 + 0.367 = 0.5767
答案
P = 0.5767
7.正态分布
答案: P = 0.8062
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (462 − 500)/40 = −0.95
z₂ = (580 − 500)/40 = 2
中间面积
P = Φ(2) − Φ(−0.95) = 0.9772 − 0.1711 = 0.8062
答案
P = 0.8062
8.正态分布
答案: x = 84.6 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
换算回 x
x = 65 + 1.96·10 = 84.6 分
答案
x = 84.6 分
9.置信区间
答案: 上限 = 39.4
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 6, t = 3.707
误差范围
E = 3.707·3.5/√7 = 4.904
区间
34.5 ± 4.904 → [29.6, 39.4]
答案
上限 = 39.4
10.置信区间
答案: 上限 = 5.04 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (20·8² + 9·9²)/29 = 69.28
sp = 8.323
误差范围
E = 2.045·8.323·√(1/21 + 1/10) = 6.54
区间
−1.5 ± 6.54 → [−8.04, 5.04]
答案
上限 = 5.04 kg
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.1949
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (49.14 − 50)/1 = −0.86
尾部面积
Φ(0.86) = 0.8051
1 − Φ(0.86) = 0.1949
p 值
p = 0.1949
答案
p = 0.1949
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: z = 2.16
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 38/150 = 0.2533
p̂₂ = 32/200 = 0.16
p̂ = 70/350 = 0.2
H₀ 下的标准误
SE = √(0.2·0.8·(1/150 + 1/200)) = 0.0432
检验统计量
z = (0.2533 − 0.16)/0.0432 = 2.16
答案
z = 2.16
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.994
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 178/6 = 29.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1063
决定系数
r² = 272²/(70·1063) = 0.994
答案
r² = 0.994
y 的变异中约有 99.4% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = −4.333
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 476/6 = 79.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 270
回归直线
b = 270/70 = 3.857
a = 79.33 − 3.857·7 = 52.33
ŷ = 52.33 + 3.857·x
预测值
ŷ = 52.33 + 3.857·7 = 79.33
残差
e = 75 − 79.33 = −4.333
答案
e = −4.333
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: χ² = 10.67
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 120·121/220 = 66, 120·99/220 = 54
女性: 100·121/220 = 55, 100·99/220 = 45
卡方统计量
χ² = (78 − 66)²/66 + (42 − 54)²/54 + (43 − 55)²/55 + (57 − 45)²/45
χ² = 10.67
答案
χ² = 10.67
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 7
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 9 − 1 − 1 = 7
答案
df = 7
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