描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
研究者想检验性别（男/女）与偏好的电影类型（四类）之间是否存在关联。哪种检验合适？
- A卡方独立性检验
- BPearson 相关
- C配对 t 检验
- D单因素方差分析
2.心理学研究方法困难
心理学中的"可重复性危机"指的是：
- A法律要求期刊拒绝所有提交的重复研究
- B许多已发表的结果在新研究中无法重现
- C实验参与者短缺
- D未经许可复制问卷
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：28, 58, 47, 14, 20, 17, 31。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。求成绩 65 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 15x = 65
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.15, 0.35, 0.25, 0.05
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.15 赢得 €50，以概率 0.02 赢得 €500；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €10€50: p = 0.15€500: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 88.75 和 122.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 88.75x2 = 122.5
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 117 h，已知标准差 10 h。型号 2：80 部手机，均值 109 h，已知标准差 13 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 50x̄₁ = 117 hσ₁ = 10 hn₂ = 80x̄₂ = 109 hσ₂ = 13 h95%
下限 = h
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.05？
p = 0.5E = 0.0595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 114.8，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 114.8s = 10n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 499.3。总体标准差为 4。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 499.3σ = 4n = 3690%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4.5, 23)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(4.5, 23)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“学生，自行车”的期望频数 E。
行合计 = 53列合计 = 47N = 128
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 10 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 卡方独立性检验
为什么是这个答案
卡方检验比较列联表中的观察频数与期望频数，以检验两个分类变量是否相关联。
答案
A · 卡方独立性检验
2.心理学研究方法
答案: B · 许多已发表的结果在新研究中无法重现
为什么是这个答案
大型重复项目发现许多效应更小或根本不存在，这与发表偏差、小样本和灵活的分析有关。预注册是应对措施之一。
答案
B · 许多已发表的结果在新研究中无法重现
3.描述统计
答案: s = 16.33
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 215/7 = 30.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−2.714)² + 27.29² + 16.29² + (−16.71)² + (−10.71)² + (−13.71)² + 0.2857² = 1599
标准差
s = √(1599/6) = 16.33
答案
s = 16.33
4.描述统计
答案: z = 1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (65 − 50)/15 = 1
答案
z = 1
5.概率
答案: σ = 1.166
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.2 + 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.05 = 1.8
平方的均值
E(X²) = 0·0.2 + 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.05 = 4.6
方差
Var(X) = 4.6 − 1.8² = 1.36
σ = √1.36 = 1.166
答案
σ = 1.166
6.概率
答案: E(G) = 7.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 40 (p = 0.15), 490 (p = 0.02), −10 (p = 0.83)
期望值
E(G) = 40·0.15 + 490·0.02 − 10·0.83 = 7.5 €
答案
E(G) = 7.5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.7066
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (88.75 − 100)/15 = −0.75
z₂ = (122.5 − 100)/15 = 1.5
中间面积
P = Φ(1.5) − Φ(−0.75) = 0.9332 − 0.2266 = 0.7066
答案
P = 0.7066
8.正态分布
答案: P = 0.8849
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2
概率
P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849
答案
P = 0.8849
9.置信区间
答案: 下限 = 4.025 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 117 − 109 = 8
标准误
SE = √(10²/50 + 13²/80) = 2.028
误差范围
E = 1.96·2.028 = 3.975
区间
8 ± 3.975 → [4.025, 11.97]
答案
下限 = 4.025 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
10.置信区间
答案: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.05² = 384.2
向上取整
n = 385
答案
n = 385
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
检验统计量
t = (114.8 − 120)/2 = −2.6
答案
t = −2.6
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 500.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·4/√36 = 1.097
区间端点
U = 499.3 + 1.097 = 500.4
答案
U = 500.4
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9916
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 117/5 = 23.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
Syy = Σ(y − ȳ)² = 667.2
相关系数
r = 162/√(40·667.2) = 0.9916
答案
r = 0.9916
14.线性回归与相关
答案: e = 4.99
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 118/6 = 19.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
回归直线
b = −29/17.5 = −1.657
a = 19.67 − (−1.657)·3.5 = 25.47
ŷ = 25.47 − 1.657·x
预测值
ŷ = 25.47 + (−1.657)·4.5 = 18.01
残差
e = 23 − 18.01 = 4.99
答案
e = 4.99
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: E = 19.46
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 53·47/128 = 19.46
答案
E = 19.46
16.卡方检验
答案: χ²crit = 16.92
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 10 − 1 = 9
表
χ²crit(df = 9, α = 0.05) = 16.919
答案
χ²crit = 16.919
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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