描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在正偏态分布中（如收入）：
- A平均数大于中位数
- B平均数小于中位数
- C没有极端分数
- D平均数和中位数总是相等
2.心理学研究方法困难
在扎根理论中，数据收集持续到什么时候？
- A达到理论饱和，新数据不再产生新的类别
- B至少访谈了 1,000 名参与者
- C原假设得到证实
- D获得低于 0.05 的 p 值
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：31, 14, 58, 56, 40, 46, 30。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。数值低于 77.5 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 15x = 77.5
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.35, 0.35, 0.05
Var(X) =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.15 赢得 €5，以概率 0.02 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€5: p = 0.15€50: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8064。求 z，保留两位小数。
A = 0.8064
z =
8.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 95%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 83，标准差 s = 14。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 9x̄ = 83s = 1495%t(8) = 2.306
下限 =
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p = 0.5E = 0.02595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：60 个零件的样本平均长度为 90.5 mm，该生产线的已知标准差为 18 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 82.1 mm，已知标准差为 12 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 60x̄₁ = 90.5 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 100x̄₂ = 82.1 mmσ₂ = 12 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 8。求最小样本量 n。
σ = 8E = 0.595%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 135Σy = 284Σx² = 3195Σy² = 15256Σxy = 6912
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 5 时的 ŷ。
n = 6x = 5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“城市，低”的期望频数 E。
行合计 = 63列合计 = 48N = 178
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 4 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 平均数大于中位数
为什么是这个答案
右尾中少数极高的值使平均数高于中位数，这就是偏态数据常报告中位数的原因。
答案
A · 平均数大于中位数
2.心理学研究方法
答案: A · 达到理论饱和，新数据不再产生新的类别
为什么是这个答案
扎根理论以归纳方式发展理论，同时收集和编码数据，当新数据不再发展类别时就停止抽样。
答案
A · 达到理论饱和，新数据不再产生新的类别
3.描述统计
答案: s = 15.65
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 275/7 = 39.29
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−8.286)² + (−25.29)² + 18.71² + 16.71² + 0.7143² + 6.714² + (−9.286)² = 1469
标准差
s = √(1469/6) = 15.65
答案
s = 15.65
4.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答案
P = 0.06681
5.概率
答案: Var(X) = 76
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.25 + 20·0.35 + 30·0.35 + 40·0.05 = 22
平方的均值
E(X²) = 100·0.25 + 400·0.35 + 900·0.35 + 1600·0.05 = 560
方差
Var(X) = 560 − 22² = 76
答案
Var(X) = 76
6.概率
答案: E(G) = 0.75 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.15), 49 (p = 0.02), −1 (p = 0.83)
期望值
E(G) = 4·0.15 + 49·0.02 − 1·0.83 = 0.75 €
答案
E(G) = 0.75 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: z = 1.3
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8064)/2 = 0.9032
反向查 z 表
在表中找到 0.9032，读出 z。
z = 1.30
答案
z = 1.30
8.正态分布
答案: x = 81.45 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 65 + 1.645·10 = 81.45 分
答案
x = 81.45 分
9.置信区间
答案: 下限 = 72.24
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 2.306
误差范围
E = 2.306·14/√9 = 10.76
区间
83 ± 10.76 → [72.24, 93.76]
答案
下限 = 72.24
10.置信区间
答案: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.025² = 1537
向上取整
n = 1537
答案
n = 1537
11.假设检验与置信区间
答案: z = 3.212
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(18²/60 + 12²/100) = √6.84 = 2.615
检验统计量
z = (90.5 − 82.1)/2.615 = 3.212
答案
z = 3.212
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 984
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·8/0.5)² = 983.4
向上取整
n = 984
答案
n = 984
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9768
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 6912 − 135·284/6 = 522
Sxx = 3195 − 135²/6 = 157.5
Syy = 15256 − 284²/6 = 1813
相关系数
r = 522/√(157.5·1813) = 0.9768
答案
r = 0.9768
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 10.96
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 86/6 = 14.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
回归直线
b = 118/70 = 1.686
a = 14.33 − 1.686·7 = 2.533
ŷ = 2.533 + 1.686·x
预测
ŷ = 2.533 + 1.686·5 = 10.96
答案
ŷ = 10.96
15.卡方检验
答案: E = 16.99
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 63·48/178 = 16.99
答案
E = 16.99
16.卡方检验
答案: χ²crit = 5.991
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 − 1 = 2
表
χ²crit(df = 2, α = 0.05) = 5.991
答案
χ²crit = 5.991
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology