描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名学生在一项平均数为 100、标准差为 15 的测验中得了 130 分。z 分数是多少？
- A0.5
- B2.0
- C3.0
- D1.5
2.心理学研究方法困难
因焦虑分数极高而被选中的患者，即使没有接受治疗，在第二次测验时分数也降低了。最可能的解释是什么？
- A霍桑效应
- B天花板效应
- C向平均数回归
- D平衡抵消
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：30, 10, 13, 47, 53。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。求成绩 428 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 60x = 428
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.35, 0.35, 0.05, 0.15
Var(X) =
6.概率困难
一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.2k = 1
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6157。求 z，保留两位小数。
A = 0.6157
z =
8.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 90% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h90%
x = h
9.置信区间中等
一个包含 10 个个体的样本，均值为 35.5，标准差 s = 16。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 10x̄ = 35.5s = 1699%t(9) = 3.25
下限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 30。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 30E = 1.595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 98.78，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 98.78s = 5n = 81
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 15。求最小样本量 n。
σ = 15E = 195%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 33Σy = 478Σx² = 199Σy² = 38642Σxy = 2725
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 9 时的 ŷ。
n = 5x = 9
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“学生，自行车”的期望频数 E。
行合计 = 68列合计 = 54N = 156
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 10 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 2.0
为什么是这个答案
(130 − 100) / 15 = 2。该分数比平均数高两个标准差，高于约 97–98% 的人。
答案
B · 2.0
2.心理学研究方法
答案: C · 向平均数回归
为什么是这个答案
当人们因极端分数而被选中时，测量误差和偶然因素使他们以后的分数倾向于向平均数靠拢。控制组有助于把这种现象与治疗效果区分开来。
答案
C · 向平均数回归
3.描述统计
答案: s = 19.4
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 153/5 = 30.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−0.6)² + (−20.6)² + (−17.6)² + 16.4² + 22.4² = 1505
标准差
s = √(1505/4) = 19.4
答案
s = 19.4
4.描述统计
答案: z = −1.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (428 − 500)/60 = −1.2
答案
z = −1.2
5.概率
答案: Var(X) = 1.36
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.1 + 1·0.35 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.15 = 1.8
平方的均值
E(X²) = 0·0.1 + 1·0.35 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.15 = 4.6
方差
Var(X) = 4.6 − 1.8² = 1.36
答案
Var(X) = 1.36
6.概率
答案: P = 0.3932
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 6·0.21·0.85 = 6·0.2·0.3277 = 0.3932
答案
P = 0.3932
7.正态分布
答案: z = 0.87
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.6157)/2 = 0.8078
反向查 z 表
在表中找到 0.8078，读出 z。
z = 0.87
答案
z = 0.87
8.正态分布
答案: x = 449 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.1
由表得到的 z
z ≈ −1.28
回到原来的单位
x = 500 − 1.28·40 = 449 h
答案
x = 449 h
9.置信区间
答案: 下限 = 19.06
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 9, t = 3.25
误差范围
E = 3.25·16/√10 = 16.44
区间
35.5 ± 16.44 → [19.06, 51.94]
答案
下限 = 19.06
10.置信区间
答案: n = 1537
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·30/1.5)² = 1537
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1537
答案
n = 1537
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.196
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 5/√81 = 5/9 = 0.5556
检验统计量
t = (98.78 − 100)/0.5556 = −2.196
答案
t = −2.196
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 865
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·15/1)² = 864.4
向上取整
n = 865
答案
n = 865
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9686
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 2725 − 33·478/6 = 96
Sxx = 199 − 33²/6 = 17.5
Syy = 38642 − 478²/6 = 561.3
相关系数
r = 96/√(17.5·561.3) = 0.9686
答案
r = 0.9686
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 26.65
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 92/5 = 18.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110
回归直线
b = 110/40 = 2.75
a = 18.4 − 2.75·6 = 1.9
ŷ = 1.9 + 2.75·x
预测
ŷ = 1.9 + 2.75·9 = 26.65
答案
ŷ = 26.65
15.卡方检验
答案: E = 23.54
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 68·54/156 = 23.54
答案
E = 23.54
16.卡方检验
答案: χ²crit = 21.67
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 10 − 1 = 9
表
χ²crit(df = 9, α = 0.01) = 21.666
答案
χ²crit = 21.666
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology