描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在正偏态分布中（如收入）：
- A平均数大于中位数
- B平均数小于中位数
- C没有极端分数
- D平均数和中位数总是相等
2.心理学研究方法困难
研究者比较三个或更多组的平均数。为什么用单因素方差分析而不是做多次 t 检验？
- A方差分析总是比相应的一组 t 检验发现更大的效应
- Bt 检验需要质性数据
- Ct 检验无法处理大于 100 的数字
- D多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：23, 25, 27, 51, 12。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 50。数值低于 550 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 50x = 550
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.15 赢得 €2，以概率 0.02 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€2: p = 0.15€10: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 240.25 和 257.75 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 240.25x2 = 257.75
P =
8.正态分布困难
一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −1.6，标准差为 2.4。 求平均差值的 99% 置信区间的下限。
n = 7d̄ = −1.6sd = 2.499%t(6) = 3.707
下限 = mmHg
10.置信区间困难
总体标准差为 19。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 19E = 2.590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 106 mm，该生产线的已知标准差为 18 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 98.3 mm，已知标准差为 3 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 50x̄₁ = 106 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 60x̄₂ = 98.3 mmσ₂ = 3 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 124。总体标准差为 10。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 124σ = 10n = 3695%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 11)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5, 11)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2202 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 11 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 11
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 平均数大于中位数
为什么是这个答案
右尾中少数极高的值使平均数高于中位数，这就是偏态数据常报告中位数的原因。
答案
A · 平均数大于中位数
2.心理学研究方法
答案: D · 多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
为什么是这个答案
做许多两两比较会成倍增加假阳性的机会。方差分析同时检验所有组，之后再进行经过校正的事后检验。
答案
D · 多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
3.描述统计
答案: s = 14.31
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 138/5 = 27.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−4.6)² + (−2.6)² + (−0.6)² + 23.4² + (−15.6)² = 819.2
标准差
s = √(819.2/4) = 14.31
答案
s = 14.31
4.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答案
P = 0.8413
5.概率
答案: σ = 0.8047
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75
方差
Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047
答案
σ = 0.8047
6.概率
答案: E(G) = −0.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 1 (p = 0.15), 9 (p = 0.02), −1 (p = 0.83)
期望值
E(G) = 1·0.15 + 9·0.02 − 1·0.83 = −0.5 €
答案
E(G) = −0.5 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: P = 0.9138
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (240.25 − 250)/5 = −1.95
z₂ = (257.75 − 250)/5 = 1.55
中间面积
P = Φ(1.55) − Φ(−1.95) = 0.9394 − 0.02559 = 0.9138
答案
P = 0.9138
8.正态分布
答案: P = 0.7389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
标准化
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
概率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答案
P = 0.7389
9.置信区间
答案: 下限 = −4.963 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 3.707
误差范围
E = 3.707·2.4/√7 = 3.363
区间
−1.6 ± 3.363 → [−4.963, 1.763]
答案
下限 = −4.963 mmHg
10.置信区间
答案: n = 157
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·19/2.5)² = 156.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 157
答案
n = 157
11.假设检验与置信区间
答案: z = 2.99
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(18²/50 + 3²/60) = √6.63 = 2.575
检验统计量
z = (106 − 98.3)/2.575 = 2.99
答案
z = 2.99
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 120.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·10/√36 = 3.267
区间端点
L = 124 − 3.267 = 120.7
答案
L = 120.7
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9912
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 89/5 = 17.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Syy = Σ(y − ȳ)² = 68.8
相关系数
r = −26/√(10·68.8) = −0.9912
答案
r = −0.9912
14.线性回归与相关
答案: e = 1.581
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 74/6 = 12.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102
回归直线
b = 102/70 = 1.457
a = 12.33 − 1.457·7 = 2.133
ŷ = 2.133 + 1.457·x
预测值
ŷ = 2.133 + 1.457·5 = 9.419
残差
e = 11 − 9.419 = 1.581
答案
e = 1.581
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 33.26
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 120·110/220 = 60, 120·55/220 = 30, 120·55/220 = 30
教职工: 100·110/220 = 50, 100·55/220 = 25, 100·55/220 = 25
卡方统计量
χ² = (39 − 60)²/60 + (38 − 30)²/30 + (43 − 30)²/30 + (71 − 50)²/50 + (17 − 25)²/25 + (12 − 25)²/25
χ² = 33.26
答案
χ² = 33.26
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 10
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 11 − 1 = 10
答案
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology