描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项测验太容易，几乎所有参与者的得分都接近满分。这称为：
- A练习效应
- B顺序效应
- C天花板效应
- D地板效应
2.心理学研究方法困难
两名观察者记录操场上的攻击行为，他们的计数相关为 r = 0.45。研究者应该怎么做？
- A改用单侧假设
- B改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性
- C只采用两个计数中较高的那个
- D接受这些数据，因为任何正相关都足够了
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：48, 12, 38, 12, 37, 42。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。数值高于 155.6 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 12x = 155.6
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 5 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 5
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 5X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.25, 0.15, 0.15, 0.3Y = 5X + 5
σY =
7.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 29 和 37.1 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 29x2 = 37.1
P =
8.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 90% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h90%
x = h
9.置信区间中等
测量 10 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −6.8，标准差为 2.9。 求平均差值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 10d̄ = −6.8sd = 2.990%t(9) = 1.833
E = mmHg
10.置信区间困难
11 根机加工轴的直径样本标准差为 6.2 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 10 时，χ² 分布有 2.5% 位于 3.247 以下，2.5% 位于 20.483 以上。
n = 11s = 6.2 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 53.43，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 53.43s = 10n = 49
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 2 个单位的偏移。标准差为 15。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 80%δ = 2σ = 15zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 159Σx² = 364Σy² = 5055Σxy = 1354
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 5x = 3.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 5 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
2 × 5
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 天花板效应
为什么是这个答案
天花板效应掩盖了各条件之间的差异，因为没有人能得更高的分。地板效应则相反，出现在任务太难时。
答案
C · 天花板效应
2.心理学研究方法
答案: B · 改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性
为什么是这个答案
观察者间信度低意味着类别的应用不一致。在正式收集数据之前，应通过更清晰的操作性定义和练习来提高一致性。
答案
B · 改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性
3.描述统计
答案: s = 15.59
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 189/6 = 31.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = 16.5² + (−19.5)² + 6.5² + (−19.5)² + 5.5² + 10.5² = 1216
标准差
s = √(1216/5) = 15.59
答案
s = 15.59
4.描述统计
答案: P = 0.8849
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.2
标准正态分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
答案
P = 0.8849
5.概率
答案: P = 0.5981
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981
答案
P = 0.5981
6.概率
答案: σY = 7.348
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.2, Var(X) = 2.16, σX = 1.47
线性变换
σY = |5|·1.47 = 7.348
答案
σY = 7.348
均值确实会改变：E(Y) = 5·3.2 + 5 = 21。
7.正态分布
答案: P = 0.4938
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (29 − 32)/6 = −0.5
z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85
中间面积
P = Φ(0.85) − Φ(−0.5) = 0.8023 − 0.3085 = 0.4938
答案
P = 0.4938
8.正态分布
答案: x = 449 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.1
由表得到的 z
z ≈ −1.28
回到原来的单位
x = 500 − 1.28·40 = 449 h
答案
x = 449 h
9.置信区间
答案: E = 1.681 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 9, t = 1.833
误差范围
E = 1.833·2.9/√10 = 1.681
答案
E = 1.681 mmHg
10.置信区间
答案: σ = 4.332 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 10·6.2² = 384.4
σ² 的限值
384.4/20.483 = 18.77
384.4/3.247 = 118.4
σ 的限值
σ = √18.77 = 4.332 µm
答案
σ = 4.332 µm
σ 的 95% 区间：[4.332, 10.88] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: t = 2.401
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429
检验统计量
t = (53.43 − 50)/1.429 = 2.401
答案
t = 2.401
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 348
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 0.842)·15/2)² = 347.9
向上取整
n = 348
答案
n = 348
13.线性回归与相关
答案: r = 0.993
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1354 − 42·159/6 = 241
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 5055 − 159²/6 = 841.5
相关系数
r = 241/√(70·841.5) = 0.993
答案
r = 0.993
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 20.1
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
回归直线
b = −26/10 = −2.6
a = 21.4 − (−2.6)·3 = 29.2
ŷ = 29.2 − 2.6·x
预测
ŷ = 29.2 + (−2.6)·3.5 = 20.1
答案
ŷ = 20.1
15.卡方检验
答案: χ² = 0.4167
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 60·108/180 = 36, 60·72/180 = 24
安慰剂: 120·108/180 = 72, 120·72/180 = 48
卡方统计量
χ² = (34 − 36)²/36 + (26 − 24)²/24 + (74 − 72)²/72 + (46 − 48)²/48
χ² = 0.4167
答案
χ² = 0.4167
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4
答案
df = 4
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