描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
第一类错误发生在研究者：
- A没有拒绝一个错误的零假设
- B收集了过多的数据
- C使用了错误的统计检验
- D拒绝了一个实际上为真的零假设
2.心理学研究方法困难
哪种非参数检验用于比较两个相关样本，例如顺序量表上的前后测分数？
- A卡方独立性检验
- B曼-惠特尼 U 检验
- C威尔科克森符号秩检验
- D独立样本 t 检验
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：31, 47, 38, 54, 54。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。求成绩 59 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 15x = 59
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.05, 0.3, 0.35, 0.3
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.2 赢得 €20，以概率 0.05 赢得 €250；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €5€20: p = 0.2€250: p = 0.05
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8990。求 z，保留两位小数。
A = 0.8990
z =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.置信区间中等
测量 20 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −9，标准差为 7.3。 求平均差值的 99% 置信区间的下限。
n = 20d̄ = −9sd = 7.399%t(19) = 2.861
下限 = mmHg
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：10 块地，平均产量 73 kg，标准差 6 kg。地块组 2：11 块地，均值 67 kg，标准差 2.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 10x̄₁ = 73s₁ = 6n₂ = 11x̄₂ = 67s₂ = 2.595%t(19) = 2.093
上限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 87.5 mm，该生产线的已知标准差为 14 mm。生产线 2：30 个零件的样本均值为 81.8 mm，已知标准差为 5 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 50x̄₁ = 87.5 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 30x̄₂ = 81.8 mmσ₂ = 5 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 44 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 147 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 44n₁ = 80x₂ = 147n₂ = 300
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 120Σy = 345Σx² = 2470Σy² = 20659Σxy = 7133
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 5 时的 ŷ。
n = 6x = 5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 拒绝了一个实际上为真的零假设
为什么是这个答案
第一类错误是声称存在一个并不存在的效应，其概率等于显著性水平（常为 0.05）。第二类错误是漏掉了真实的效应。
答案
D · 拒绝了一个实际上为真的零假设
2.心理学研究方法
答案: C · 威尔科克森符号秩检验
为什么是这个答案
威尔科克森符号秩检验用于配对的顺序数据；曼-惠特尼 U 检验是其用于独立组的对应方法。
答案
C · 威尔科克森符号秩检验
3.描述统计
答案: s = 10.13
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 224/5 = 44.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−13.8)² + 2.2² + (−6.8)² + 9.2² + 9.2² = 410.8
标准差
s = √(410.8/4) = 10.13
答案
s = 10.13
4.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (59 − 50)/15 = 0.6
答案
z = 0.6
5.概率
答案: σ = 8.888
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.05 + 20·0.3 + 30·0.35 + 40·0.3 = 29
平方的均值
E(X²) = 100·0.05 + 400·0.3 + 900·0.35 + 1600·0.3 = 920
方差
Var(X) = 920 − 29² = 79
σ = √79 = 8.888
答案
σ = 8.888
6.概率
答案: E(G) = 11.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 15 (p = 0.2), 245 (p = 0.05), −5 (p = 0.75)
期望值
E(G) = 15·0.2 + 245·0.05 − 5·0.75 = 11.5 €
答案
E(G) = 11.5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: z = 1.64
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8990)/2 = 0.9495
反向查 z 表
在表中找到 0.9495，读出 z。
z = 1.64
答案
z = 1.64
8.正态分布
答案: P = 0.9099
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34
概率
P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099
答案
P = 0.9099
9.置信区间
答案: 下限 = −13.67 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 19, t = 2.861
误差范围
E = 2.861·7.3/√20 = 4.67
区间
−9 ± 4.67 → [−13.67, −4.33]
答案
下限 = −13.67 mmHg
10.置信区间
答案: 上限 = 10.12 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (9·6² + 10·2.5²)/19 = 20.34
sp = 4.51
误差范围
E = 2.093·4.51·√(1/10 + 1/11) = 4.125
区间
6 ± 4.125 → [1.875, 10.12]
答案
上限 = 10.12 kg
11.假设检验与置信区间
答案: z = 2.614
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(14²/50 + 5²/30) = √4.753 = 2.18
检验统计量
z = (87.5 − 81.8)/2.18 = 2.614
答案
z = 2.614
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: z = 0.9537
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 44/80 = 0.55
p̂₂ = 147/300 = 0.49
p̂ = 191/380 = 0.5026
H₀ 下的标准误
SE = √(0.5026·0.4974·(1/80 + 1/300)) = 0.06291
检验统计量
z = (0.55 − 0.49)/0.06291 = 0.9537
答案
z = 0.9537
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9716
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 7133 − 120·345/6 = 233
Sxx = 2470 − 120²/6 = 70
Syy = 20659 − 345²/6 = 821.5
相关系数
r = 233/√(70·821.5) = 0.9716
答案
r = 0.9716
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 59.99
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 422/6 = 70.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 362
回归直线
b = 362/70 = 5.171
a = 70.33 − 5.171·7 = 34.13
ŷ = 34.13 + 5.171·x
预测
ŷ = 34.13 + 5.171·5 = 59.99
答案
ŷ = 59.99
15.卡方检验
答案: χ² = 8.873
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 100·110/220 = 50, 100·110/220 = 50
安慰剂: 120·110/220 = 60, 120·110/220 = 60
卡方统计量
χ² = (61 − 50)²/50 + (39 − 50)²/50 + (49 − 60)²/60 + (71 − 60)²/60
χ² = 8.873
答案
χ² = 8.873
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 16.81
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6
表
χ²crit(df = 6, α = 0.01) = 16.812
答案
χ²crit = 16.812
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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