心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

一项横断面研究同时比较 20 岁、40 岁和 60 岁人群的科技使用情况。哪个问题可能混淆年龄比较？

A地板效应
B顺序效应
C同龄群体（队列）效应
D练习效应

2.心理学研究方法困难

一项研究发现，在社会支持强的人身上，压力对疾病的影响较弱。社会支持在这里起什么作用？

A中介变量
B因变量
C混淆变量
D调节变量

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：15, 43, 52, 25, 30, 48, 58。

n = 7

s =

4.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。求成绩 65 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 15x = 65

z =

5.概率中等

从 9 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 9k = 4

N =

6.概率困难

测试 6 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.25

P =

7.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8473。求 z，保留两位小数。

A = 0.8473

z =

8.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 15% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分15%

x = 分

9.置信区间中等

一个包含 21 个个体的样本，均值为 21，标准差 s = 11.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 21x̄ = 21s = 11.595%t(20) = 2.086

下限 =

10.置信区间困难

总体标准差为 10。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 10E = 399%

n =

11.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 47.07，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 47.07s = 8n = 36

t =

12.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 10。求最小样本量 n。

σ = 10E = 2.595%

n =

13.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 9 时的 ŷ。

n = 5x = 9

ŷ =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“教职工，汽车”的期望频数 E。

行合计 = 83列合计 = 40N = 139

E =

16.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验检验 6 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。该检验的自由度 df 是多少？

k = 6

df =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: C · 同龄群体（队列）效应

为什么是这个答案

不同年龄组在不同的历史条件下长大，因此差异可能反映的是代际（队列）差异，而不是衰老本身。

答案

C · 同龄群体（队列）效应

2.心理学研究方法

答案: D · 调节变量

为什么是这个答案

调节变量改变两个变量之间关系的强度或方向。中介变量解释一个变量影响另一个变量的机制。

答案

D · 调节变量

3.描述统计

答案: s = 15.7

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 271/7 = 38.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−23.71)² + 4.286² + 13.29² + (−13.71)² + (−8.714)² + 9.286² + 19.29² = 1479

标准差

s = √(1479/6) = 15.7

答案

s = 15.7

4.描述统计

答案: z = 1

标准化

z = (65 − 50)/15 = 1

答案

z = 1

5.概率

答案: N = 126

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

答案

N = 126

6.概率

答案: P = 0.5339

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.75⁶ = 0.178

P(X = 1) = 6·0.25·0.75⁵ = 0.356

相加

P = 0.178 + 0.356 = 0.5339

答案

P = 0.5339

7.正态分布

答案: z = 1.43

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.8473)/2 = 0.9236

反向查 z 表

在表中找到 0.9236，读出 z。

z = 1.43

答案

z = 1.43

8.正态分布

答案: x = 75.4 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.85

由表得到的 z

z ≈ 1.04

回到原来的单位

x = 65 + 1.04·10 = 75.4 分

答案

x = 75.4 分

9.置信区间

答案: 下限 = 15.77

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 20, t = 2.086

误差范围

E = 2.086·11.5/√21 = 5.235

区间

21 ± 5.235 → [15.77, 26.23]

答案

下限 = 15.77

10.置信区间

答案: n = 74

解出 n

n = (2.576·10/3)² = 73.73

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 74

答案

n = 74

11.假设检验与置信区间

答案: t = −2.197

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

检验统计量

t = (47.07 − 50)/1.333 = −2.197

答案

t = −2.197

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

12.假设检验与置信区间

答案: n = 62

解出 n

n = (1.96·10/2.5)² = 61.47

向上取整

n = 62

答案

n = 62

13.线性回归与相关

答案: r = −0.8452

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 150/6 = 25

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 50

答案

r = −0.8452

14.线性回归与相关

答案: ŷ = 28.55

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 97/5 = 19.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

回归直线

b = 122/40 = 3.05

a = 19.4 − 3.05·6 = 1.1

ŷ = 1.1 + 3.05·x

预测

ŷ = 1.1 + 3.05·9 = 28.55

答案

ŷ = 28.55

15.卡方检验

答案: E = 23.88

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 83·40/139 = 23.88

答案

E = 23.88

16.卡方检验

答案: df = 4

自由度

df = 6 − 1 − 1 = 4

答案

df = 4

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