描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
内部效度指的是：
- A观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
- B参与者是否觉得研究有趣
- C测验在不同时间是否给出相同结果
- D研究结果能否推广到该研究之外的其他总体、情境和时间
2.心理学研究方法困难
一项研究表明，某问卷与同一构念的成熟测验高度相关。这支持：
- A同时效度
- B重测信度
- C生态效度
- D表面效度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：23, 18, 42, 29, 28, 26, 22。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。求成绩 74.8 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 8x = 74.8
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.35, 0.25, 0.15, 0.15
Var(X) =
6.概率困难
一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.7k = 2
P =
7.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 250 和 255 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 255
P =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 40% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分40%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 8 个个体的样本，均值为 72.5，标准差 s = 12。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 8x̄ = 72.5s = 1299%t(7) = 3.499
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 22。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 5？
σ = 22E = 599%
n =
11.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 498.3，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 498.3s = 12n = 100
t =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 30 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 2 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 30n₁ = 200x₂ = 2n₂ = 100
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 15Σy = 83Σx² = 55Σy² = 1517Σxy = 213
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 17)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5, 17)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 802 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 7 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 7
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
为什么是这个答案
内部效度高意味着已排除其他解释，如混淆变量、需求特征或实验者偏差。外部效度则涉及推广性。
答案
A · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
2.心理学研究方法
答案: A · 同时效度
为什么是这个答案
当新测量与大致同时进行的成熟测量结果一致时，就证明了同时效度。
答案
A · 同时效度
3.描述统计
答案: s = 7.669
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 188/7 = 26.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−3.857)² + (−8.857)² + 15.14² + 2.143² + 1.143² + (−0.8571)² + (−4.857)² = 352.9
标准差
s = √(352.9/6) = 7.669
答案
s = 7.669
4.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (74.8 − 70)/8 = 0.6
答案
z = 0.6
5.概率
答案: Var(X) = 1.49
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.1 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.15 + 5·0.15 = 2.9
平方的均值
E(X²) = 1·0.1 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.15 + 25·0.15 = 9.9
方差
Var(X) = 9.9 − 2.9² = 1.49
答案
Var(X) = 1.49
6.概率
答案: P = 0.0005305
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 55·0.72·0.39 = 55·0.49·1.968 × 10⁻⁵ = 0.0005305
答案
P = 0.0005305
7.正态分布
答案: P = 0.3413
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (255 − 250)/5 = 1
中间面积
P = Φ(1) − Φ(0) = 0.8413 − 0.5 = 0.3413
答案
P = 0.3413
8.正态分布
答案: x = 62.5 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.4
由表得到的 z
z ≈ −0.25
回到原来的单位
x = 65 − 0.25·10 = 62.5 分
答案
x = 62.5 分
9.置信区间
答案: E = 14.84
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 7, t = 3.499
误差范围
E = 3.499·12/√8 = 14.84
答案
E = 14.84
10.置信区间
答案: n = 129
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·22/5)² = 128.5
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 129
答案
n = 129
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.417
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2
检验统计量
t = (498.3 − 500)/1.2 = −1.417
答案
t = −1.417
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: z = 3.439
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 30/200 = 0.15
p̂₂ = 2/100 = 0.02
p̂ = 32/300 = 0.1067
H₀ 下的标准误
SE = √(0.1067·0.8933·(1/200 + 1/100)) = 0.03781
检验统计量
z = (0.15 − 0.02)/0.03781 = 3.439
答案
z = 3.439
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9649
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 213 − 15·83/5 = −36
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1517 − 83²/5 = 139.2
相关系数
r = −36/√(10·139.2) = −0.9649
答案
r = −0.9649
14.线性回归与相关
答案: e = −1.671
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 153/6 = 25.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 239
回归直线
b = 239/70 = 3.414
a = 25.5 − 3.414·7 = 1.6
ŷ = 1.6 + 3.414·x
预测值
ŷ = 1.6 + 3.414·5 = 18.67
残差
e = 17 − 18.67 = −1.671
答案
e = −1.671
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: χ² = 1.978
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 40·52/80 = 26, 40·28/80 = 14
女性: 40·52/80 = 26, 40·28/80 = 14
卡方统计量
χ² = (23 − 26)²/26 + (17 − 14)²/14 + (29 − 26)²/26 + (11 − 14)²/14
χ² = 1.978
答案
χ² = 1.978
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 7 − 1 = 6
答案
df = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology