描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
研究者想检验性别（男/女）与偏好的电影类型（四类）之间是否存在关联。哪种检验合适？
- APearson 相关
- B单因素方差分析
- C卡方独立性检验
- D配对 t 检验
2.心理学研究方法困难
在定性研究中，反身性（reflexivity）是指研究者：
- A使用随机样本以消除偏差
- B反思自己的背景和假设可能如何影响分析
- C重复研究以检验信度
- D把主题转换为数值数据
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：44, 19, 19, 58, 42, 39, 10。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。数值高于 110 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 5x = 110
P =
5.概率中等
从 8 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 8k = 5
N =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 10X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.3, 0.05, 0.15, 0.15Y = 10X + 10
σY =
7.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 93.25 和 112.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 93.25x2 = 112.75
P =
8.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 80% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分80%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 16 个个体的样本，均值为 101.5，标准差 s = 13.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 16x̄ = 101.5s = 13.599%t(15) = 2.947
下限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 39。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 39E = 399%
n =
11.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：8 名学生，平均分 105，标准差 5.5。第 2 组：14 名学生，平均分 98.9，标准差 8。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 8x̄₁ = 105s₁ = 5.5n₂ = 14x̄₂ = 98.9s₂ = 8
t =
12.假设检验与置信区间困难
64 次测量的样本均值为 499.8。总体标准差为 10。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 499.8σ = 10n = 6495%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2.5 时的 ŷ。
n = 5x = 2.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，严重”的期望频数 E。
行合计 = 46列合计 = 57N = 162
E =
16.卡方检验困难
对一个 4 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 卡方独立性检验
为什么是这个答案
卡方检验比较列联表中的观察频数与期望频数，以检验两个分类变量是否相关联。
答案
C · 卡方独立性检验
2.心理学研究方法
答案: B · 反思自己的背景和假设可能如何影响分析
为什么是这个答案
反身性承认研究者对数据收集和解释的影响，是定性研究的一项关键质量标准。
答案
B · 反思自己的背景和假设可能如何影响分析
3.描述统计
答案: s = 17.24
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 231/7 = 33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 11² + (−14)² + (−14)² + 25² + 9² + 6² + (−23)² = 1784
标准差
s = √(1784/6) = 17.24
答案
s = 17.24
4.描述统计
答案: P = 0.02275
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 2
标准正态分布表
Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275
答案
P = 0.02275
5.概率
答案: N = 56
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56
答案
N = 56
6.概率
答案: σY = 14.65
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.45, Var(X) = 2.147, σX = 1.465
线性变换
σY = |10|·1.465 = 14.65
答案
σY = 14.65
均值确实会改变：E(Y) = 10·2.45 + 10 = 34.5。
7.正态分布
答案: P = 0.476
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (93.25 − 100)/15 = −0.45
z₂ = (112.75 − 100)/15 = 0.85
中间面积
P = Φ(0.85) − Φ(−0.45) = 0.8023 − 0.3264 = 0.476
答案
P = 0.476
8.正态分布
答案: x = 87.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.2
由表得到的 z
z ≈ −0.84
回到原来的单位
x = 100 − 0.84·15 = 87.4 分
答案
x = 87.4 分
9.置信区间
答案: 下限 = 91.55
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 15, t = 2.947
误差范围
E = 2.947·13.5/√16 = 9.946
区间
101.5 ± 9.946 → [91.55, 111.4]
答案
下限 = 91.55
10.置信区间
答案: n = 1122
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·39/3)² = 1121
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1122
答案
n = 1122
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.905
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (7·5.5² + 13·8²)/20 = 52.19
sp = 7.224
标准误
SE = 7.224·√(1/8 + 1/14) = 3.202
检验统计量
t = (105 − 98.9)/3.202 = 1.905
答案
t = 1.905
df = 20 时，双侧 5% 的临界值为 2.086；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 502.3
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·10/√64 = 2.45
区间端点
U = 499.8 + 2.45 = 502.3
答案
U = 502.3
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9882
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 84/6 = 14
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152
Syy = Σ(y − ȳ)² = 338
相关系数
r = 152/√(70·338) = 0.9882
答案
r = 0.9882
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 21.8
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 105/5 = 21
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
回归直线
b = −16/10 = −1.6
a = 21 − (−1.6)·3 = 25.8
ŷ = 25.8 − 1.6·x
预测
ŷ = 25.8 + (−1.6)·2.5 = 21.8
答案
ŷ = 21.8
15.卡方检验
答案: E = 16.19
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 46·57/162 = 16.19
答案
E = 16.19
16.卡方检验
答案: χ²crit = 16.92
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9
表
χ²crit(df = 9, α = 0.05) = 16.919
答案
χ²crit = 16.919
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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