描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一份新的抑郁问卷能预测哪些学生会在下一年寻求治疗。这支持哪种效度？
- A同时效度
- B表面效度
- C预测效度
- D内容效度
2.心理学研究方法困难
一项记忆研究采用重复测量设计，每个人都先学习列表 A，再学习列表 B。列表 B 的回忆成绩更好。最可能的缺陷是什么？
- A各组之间的个体差异
- B使用了顺序测量水平
- C由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
- D样本量太大
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：19, 50, 38, 52, 14, 57。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 12。数值低于 82 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 12x = 82
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.2, 0.35, 0.3
Var(X) =
6.概率困难
测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.4
P =
7.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 174.85 和 183.6 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 174.85x2 = 183.6
P =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 30% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分30%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 15 个个体的样本，均值为 115.5，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 15x̄ = 115.5s = 490%t(14) = 1.761
下限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 2。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 2E = 0.590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
10 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 10.21，差值的标准差为 9.5。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 10d̄ = 10.21sd = 9.5
t =
12.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 94。总体标准差为 15。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 94σ = 15n = 2590%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 9 时的 ŷ。
n = 5x = 9
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 5 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 预测效度
为什么是这个答案
当分数能预测以后的效标时，就显示出预测效度。同时效度使用的是同一时间测量的效标。
答案
C · 预测效度
2.心理学研究方法
答案: C · 由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
为什么是这个答案
当所有参与者以相同顺序经历各条件时，成绩提高可能反映的是练习而不是列表本身。平衡抵消（ABBA，或一半 AB、一半 BA）可以控制这一问题。
答案
C · 由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
3.描述统计
答案: s = 18.1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 230/6 = 38.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−19.33)² + 11.67² + (−0.3333)² + 13.67² + (−24.33)² + 18.67² = 1637
标准差
s = √(1637/5) = 18.1
答案
s = 18.1
4.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答案
P = 0.8413
5.概率
答案: Var(X) = 1.06
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.15 + 2·0.2 + 3·0.35 + 4·0.3 = 2.8
平方的均值
E(X²) = 1·0.15 + 4·0.2 + 9·0.35 + 16·0.3 = 8.9
方差
Var(X) = 8.9 − 2.8² = 1.06
答案
Var(X) = 1.06
6.概率
答案: P = 0.03023
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.611 = 0.003628
P(X = 1) = 11·0.4·0.610 = 0.02661
相加
P = 0.003628 + 0.02661 = 0.03023
答案
P = 0.03023
7.正态分布
答案: P = 0.4618
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (174.85 − 178)/7 = −0.45
z₂ = (183.6 − 178)/7 = 0.8
中间面积
P = Φ(0.8) − Φ(−0.45) = 0.7881 − 0.3264 = 0.4618
答案
P = 0.4618
8.正态分布
答案: x = 70.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.7
由表得到的 z
z ≈ 0.52
回到原来的单位
x = 65 + 0.52·10 = 70.2 分
答案
x = 70.2 分
9.置信区间
答案: 下限 = 113.7
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 14, t = 1.761
误差范围
E = 1.761·4/√15 = 1.819
区间
115.5 ± 1.819 → [113.7, 117.3]
答案
下限 = 113.7
10.置信区间
答案: n = 44
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·2/0.5)² = 43.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 44
答案
n = 44
11.假设检验与置信区间
答案: t = 3.399
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 9.5/√10 = 3.004
检验统计量
t = 10.21/3.004 = 3.399
答案
t = 3.399
df = 9 时，双侧 5% 的临界值为 2.262；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 98.94
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·15/√25 = 4.935
区间端点
U = 94 + 4.935 = 98.94
答案
U = 98.94
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9628
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 147/6 = 24.5
ȳ = 574/6 = 95.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 636
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2667
决定系数
r² = 636²/(157.5·2667) = 0.9628
答案
r² = 0.9628
y 的变异中约有 96.28% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 27.3
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 90/5 = 18
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
回归直线
b = 124/40 = 3.1
a = 18 − 3.1·6 = −0.6
ŷ = −0.6 + 3.1·x
预测
ŷ = −0.6 + 3.1·9 = 27.3
答案
ŷ = 27.3
15.卡方检验
答案: χ² = 10
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 40·72/120 = 24, 40·48/120 = 16
不吸烟者: 80·72/120 = 48, 80·48/120 = 32
卡方统计量
χ² = (32 − 24)²/24 + (8 − 16)²/16 + (40 − 48)²/48 + (40 − 32)²/32
χ² = 10
答案
χ² = 10
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 11.35
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 − 1 = 3
表
χ²crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345
答案
χ²crit = 11.345
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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