心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

一名研究者向所有学生发放问卷，然后请受访者招募同样使用某款小众睡眠应用的朋友。第二步使用的是哪种抽样方法？

A滚雪球抽样
B分层抽样
C随机抽样
D系统抽样

2.心理学研究方法困难

实验中把参与者随机分配到各条件的主要目的是什么？

A确保参与者不知道研究目的
B使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
C使样本能代表目标总体，从而使结果可以推广
D提高应答率

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：30, 28, 30, 52, 60, 31。

n = 6

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。数值低于 58 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 10x = 58

P =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.35, 0.1, 0.2

σ =

6.概率困难

X 的分布如图所示，Y = −2X − 3。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.35, 0.25Y = −2X − 3

σ_Y =

7.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 759.8 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759.8 g

P =

8.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

9.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 88.5 h，已知标准差 3 h。型号 2：100 部手机，均值 80.5 h，已知标准差 16 h。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 60x̄₁ = 88.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 100x̄₂ = 80.5 hσ₂ = 16 h95%

下限 = h

10.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：21 块地，平均产量 98 kg，标准差 9 kg。地块组 2：5 块地，均值 86 kg，标准差 3.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。

n₁ = 21x̄₁ = 98s₁ = 9n₂ = 5x̄₂ = 86s₂ = 3.595%t(24) = 2.064

上限 = kg

11.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 507.2，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 507.2s = 15n = 25

t =

12.假设检验与置信区间困难

81 次测量的样本均值为 48.1。总体标准差为 8。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 48.1σ = 8n = 8199%

L =

13.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (25.5, 96)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(25.5, 96)

e =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 2002 × 3

χ² =

16.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验将 6 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。该检验的自由度 df 是多少？

k = 6

df =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: A · 滚雪球抽样

为什么是这个答案

滚雪球抽样适用于难以接触的群体，但样本很可能具有相似特征，不具代表性。

答案

A · 滚雪球抽样

2.心理学研究方法

答案: B · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果

为什么是这个答案

随机分配平衡了各条件间的个体差异，支持因果结论；随机抽样则关系到向总体的推广。

答案

B · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果

3.描述统计

答案: s = 13.82

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 231/6 = 38.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−8.5)² + (−10.5)² + (−8.5)² + 13.5² + 21.5² + (−7.5)² = 955.5

标准差

s = √(955.5/5) = 13.82

答案

s = 13.82

4.描述统计

答案: P = 0.1151

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

答案

P = 0.1151

5.概率

答案: σ = 2.216

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 2·0.35 + 4·0.1 + 6·0.2 = 2.3

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.35 + 16·0.1 + 36·0.2 = 10.2

方差

Var(X) = 10.2 − 2.3² = 4.91

σ = √4.91 = 2.216

答案

σ = 2.216

6.概率

答案: σ_Y = 2.322

X 的离散程度

μ = 2.55, Var(X) = 1.348, σ_X = 1.161

线性变换

σ_Y = |−2|·1.161 = 2.322

答案

σ_Y = 2.322

均值确实会改变：E(Y) = −2·2.55 − 3 = −8.1。

7.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (759.8 − 750)/9.849 = 1

上尾

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

8.正态分布

答案: x = 593.1 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 500 + 2.326·40 = 593.05 h

答案

x = 593.05 h

9.置信区间

答案: 下限 = 4.773 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 88.5 − 80.5 = 8

标准误

SE = √(3²/60 + 16²/100) = 1.646

误差范围

E = 1.96·1.646 = 3.227

区间

8 ± 3.227 → [4.773, 11.23]

答案

下限 = 4.773 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

10.置信区间

答案: 上限 = 20.56 kg

合并标准差

s_p² = (20·9² + 4·3.5²)/24 = 69.54

s_p = 8.339

误差范围

E = 2.064·8.339·√(1/21 + 1/5) = 8.565

区间

12 ± 8.565 → [3.435, 20.56]

答案

上限 = 20.56 kg

11.假设检验与置信区间

答案: t = 2.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

检验统计量

t = (507.2 − 500)/3 = 2.4

答案

t = 2.4

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

12.假设检验与置信区间

答案: L = 45.81

误差范围

E = 2.576·8/√81 = 2.29

区间端点

L = 48.1 − 2.29 = 45.81

答案

L = 45.81

13.线性回归与相关

答案: r² = 0.9559

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 336/5 = 67.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 904.8

决定系数

r² = 186²/(40·904.8) = 0.9559

答案

r² = 0.9559

y 的变异中约有 95.59% 可由该直线解释。

14.线性回归与相关

答案: e = 4.35

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 366/5 = 73.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369

回归直线

b = 369/90 = 4.1

a = 73.2 − 4.1·21 = −12.9

ŷ = −12.9 + 4.1·x

预测值

ŷ = −12.9 + 4.1·25.5 = 91.65

残差

e = 96 − 91.65 = 4.35

答案

e = 4.35

该点位于直线上方。

15.卡方检验

答案: χ² = 7.899

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

白班: 80·60/200 = 24, 80·60/200 = 24, 80·80/200 = 32

夜班: 120·60/200 = 36, 120·60/200 = 36, 120·80/200 = 48

卡方统计量

χ² = (31 − 24)²/24 + (26 − 24)²/24 + (23 − 32)²/32 + (29 − 36)²/36 + (34 − 36)²/36 + (57 − 48)²/48

χ² = 7.899

答案

χ² = 7.899

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。

16.卡方检验

答案: df = 5

自由度

df = 6 − 1 = 5

答案

df = 5

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