描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
分半信度涉及：
- A两名观察者各负责一半的观察时段
- B把样本分成实验组和控制组，并比较两组的得分
- C在不同时间测试样本的两半
- D比较同一测验两半的得分，以检查内部一致性
2.心理学研究方法困难
一名研究者想证明一个新的焦虑量表测量的东西不同于抑郁。与抑郁量表的低相关会支持：
- A聚合效度
- B预测效度
- C表面效度
- D区分效度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：48, 33, 31, 39, 13, 14, 46。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 50。数值高于 400 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 50x = 400
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.15, 0.15, 0.25, 0.3
σ =
6.概率困难
一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.7k = 2
P =
7.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 95.5 和 108.25 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 95.5x2 = 108.25
P =
8.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 90%
x = 分
9.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 5.2。 用同样的数据计算 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 36E₁ = 5.299%
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 32。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 32E = 390%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 110.5 mm，该生产线的已知标准差为 10 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 117.6 mm，已知标准差为 19 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 80x̄₁ = 110.5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 40x̄₂ = 117.6 mmσ₂ = 19 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 30。实际上均值为 97。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 97σ = 30n = 100α = 0.05
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 27Σy = 309Σx² = 139Σy² = 16063Σxy = 1439
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 17？
n = 5ŷ = 17
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，严重”的期望频数 E。
行合计 = 79列合计 = 29N = 131
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 4 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 比较同一测验两半的得分，以检查内部一致性
为什么是这个答案
如果两半测量的是同一个结构，它们的得分应高度相关。Cronbach's α 把这一思路推广到所有可能的分半方式。
答案
D · 比较同一测验两半的得分，以检查内部一致性
2.心理学研究方法
答案: D · 区分效度
为什么是这个答案
当一个测量与其他结构的测量相关较弱时，就显示出区分（发散）效度。聚合效度则是与同一结构的测量高度相关。
答案
D · 区分效度
3.描述统计
答案: s = 14.07
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 224/7 = 32
离差平方
Σ(x − x̄)² = 16² + 1² + (−1)² + 7² + (−19)² + (−18)² + 14² = 1188
标准差
s = √(1188/6) = 14.07
答案
s = 14.07
4.描述统计
答案: P = 0.9772
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
答案
P = 0.9772
5.概率
答案: σ = 1.428
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.15 + 1·0.15 + 2·0.15 + 3·0.25 + 4·0.3 = 2.4
平方的均值
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.15 + 4·0.15 + 9·0.25 + 16·0.3 = 7.8
方差
Var(X) = 7.8 − 2.4² = 2.04
σ = √2.04 = 1.428
答案
σ = 1.428
6.概率
答案: P = 0.1323
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 10·0.72·0.33 = 10·0.49·0.027 = 0.1323
答案
P = 0.1323
7.正态分布
答案: P = 0.3268
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (95.5 − 100)/15 = −0.3
z₂ = (108.25 − 100)/15 = 0.55
中间面积
P = Φ(0.55) − Φ(−0.3) = 0.7088 − 0.3821 = 0.3268
答案
P = 0.3268
8.正态分布
答案: x = 119.2 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 100 + 1.282·15 = 119.22 分
答案
x = 119.22 分
9.置信区间
答案: E₂ = 8.143
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(36/36) = 1.566
新的误差范围
E₂ = 5.2·1.566 = 8.143
答案
E₂ = 8.143
10.置信区间
答案: n = 308
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·32/3)² = 307.9
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 308
答案
n = 308
11.假设检验与置信区间
答案: z = −2.215
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(10²/80 + 19²/40) = √10.28 = 3.205
检验统计量
z = (110.5 − 117.6)/3.205 = −2.215
答案
z = −2.215
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 25.95 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 100 − 1.645·3 = 95.06
真实均值下的 z
z = (95.06 − 97)/3 = −0.645
功率
功效 = P(Z < −0.645) = 25.95%
1 − β = 25.95%
答案
1 − β = 25.95%
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9482
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1439 − 27·309/6 = 48.5
Sxx = 139 − 27²/6 = 17.5
Syy = 16063 − 309²/6 = 149.5
相关系数
r = 48.5/√(17.5·149.5) = 0.9482
答案
r = 0.9482
14.线性回归与相关
答案: x = 2.474
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 75/5 = 15
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38
回归直线
b = −38/10 = −3.8
a = 15 − (−3.8)·3 = 26.4
ŷ = 26.4 − 3.8·x
解出 x
x = (17 − 26.4)/(−3.8) = 2.474
答案
x = 2.474
15.卡方检验
答案: E = 17.49
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 79·29/131 = 17.49
答案
E = 17.49
16.卡方检验
答案: χ²crit = 5.991
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 − 1 = 2
表
χ²crit(df = 2, α = 0.05) = 5.991
答案
χ²crit = 5.991
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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