心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

在观察研究中，事件取样是指：

A只在固定的时间间隔记录行为
B只记录参与者报告的事件
C随机选择参与者
D每次出现规定的行为时都加以记录

2.心理学研究方法困难

研究者在九个时间点收集数据，每次都在 5% 水平上检验而不做校正。问题是什么？

A这种做法没有问题
B数据每次都变得更可靠，因此最后一次检验最准确
C至少出现一次假阳性的概率远高于 5%
D每次检验效应量都会下降

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：58, 55, 49, 28, 19, 50。

n = 6

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。数值高于 110 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 20x = 110

P =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.3, 0.1, 0.2, 0.05

Var(X) =

6.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.2 赢得 €4，以概率 0.02 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€4: p = 0.2€20: p = 0.02

E(G) = €

7.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0985。求 z，保留两位小数。

A = 0.0985

z =

8.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 97.5%

x = min

9.置信区间中等

一个包含 15 个个体的样本，均值为 72，标准差 s = 15。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 15x̄ = 72s = 1590%t(14) = 1.761

上限 =

10.置信区间困难

总体标准差为 17。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 17E = 0.590%

n =

11.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：6 名学生，平均分 116，标准差 2。第 2 组：6 名学生，平均分 111.6，标准差 4.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 6x̄₁ = 116s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 111.6s₂ = 4.5

t =

12.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 30。实际上均值为 40.7。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 50μ = 40.7σ = 30n = 100α = 0.10

β = %

13.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 71)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 71)

e =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1402 × 3

χ² =

16.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2403 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: D · 每次出现规定的行为时都加以记录

为什么是这个答案

事件取样记录目标行为的每一次出现。时间取样则在设定的间隔（如每 30 秒）记录发生了什么。

答案

D · 每次出现规定的行为时都加以记录

2.心理学研究方法

答案: C · 至少出现一次假阳性的概率远高于 5%

为什么是这个答案

进行九次独立检验时，至少犯一次第一类错误的概率约为 1 − 0.95⁹ ≈ 37%。邦费罗尼校正等方法可以解决这一问题。

答案

C · 至少出现一次假阳性的概率远高于 5%

3.描述统计

答案: s = 15.84

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 259/6 = 43.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = 14.83² + 11.83² + 5.833² + (−15.17)² + (−24.17)² + 6.833² = 1255

标准差

s = √(1255/5) = 15.84

答案

s = 15.84

4.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

答案

P = 0.02275

5.概率

答案: Var(X) = 1.61

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.05 = 1.3

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.05 = 3.3

方差

Var(X) = 3.3 − 1.3² = 1.61

答案

Var(X) = 1.61

6.概率

答案: E(G) = −0.8 €

净结果

G: 2 (p = 0.2), 18 (p = 0.02), −2 (p = 0.78)

期望值

E(G) = 2·0.2 + 18·0.02 − 2·0.78 = −0.8 €

答案

E(G) = −0.8 €

负值表示平均而言你会亏钱。

7.正态分布

答案: z = 1.29

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0985 = 0.9015

反向查 z 表

在表中找到 0.9015，读出 z。

z = 1.29

答案

z = 1.29

8.正态分布

答案: x = 43.76 min

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 32 + 1.96·6 = 43.76 min

答案

x = 43.76 min

9.置信区间

答案: 上限 = 78.82

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 14, t = 1.761

误差范围

E = 1.761·15/√15 = 6.82

区间

72 ± 6.82 → [65.18, 78.82]

答案

上限 = 78.82

10.置信区间

答案: n = 3129

解出 n

n = (1.645·17/0.5)² = 3128

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 3129

答案

n = 3129

11.假设检验与置信区间

答案: t = 2.189

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (5·2² + 5·4.5²)/10 = 12.13

s_p = 3.482

标准误

SE = 3.482·√(1/6 + 1/6) = 2.01

检验统计量

t = (116 − 111.6)/2.01 = 2.189

答案

t = 2.189

df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

12.假设检验与置信区间

答案: β = 3.453 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 50 − 1.282·3 = 46.15

真实均值下的 z

z = (46.15 − 40.7)/3 = 1.818

第二类错误

功效 = P(Z < 1.818) = 96.55%

β = 100% − 96.55% = 3.453%

答案

β = 3.453%

13.线性回归与相关

答案: r = 0.9967

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 749/6 = 124.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 985.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 6207

答案

r = 0.9967

14.线性回归与相关

答案: e = 3.4

均值

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 324/5 = 64.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

回归直线

b = 56/10 = 5.6

a = 64.8 − 5.6·4 = 42.4

ŷ = 42.4 + 5.6·x

预测值

ŷ = 42.4 + 5.6·4.5 = 67.6

残差

e = 71 − 67.6 = 3.4

答案

e = 3.4

该点位于直线上方。

15.卡方检验

答案: χ² = 7.292

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

学生: 100·28/140 = 20, 100·42/140 = 30, 100·70/140 = 50

教职工: 40·28/140 = 8, 40·42/140 = 12, 40·70/140 = 20

卡方统计量

χ² = (25 − 20)²/20 + (25 − 30)²/30 + (50 − 50)²/50 + (3 − 8)²/8 + (17 − 12)²/12 + (20 − 20)²/20

χ² = 7.292

答案

χ² = 7.292

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ² = 17.6

期望频数

18–30 岁: 48, 32

31–50 岁: 48, 32

51 岁及以上: 48, 32

卡方统计量

χ² = (55 − 48)²/48 + (25 − 32)²/32 + (56 − 48)²/48 + (24 − 32)²/32 + (33 − 48)²/48 + (47 − 32)²/32

χ² = 17.6

决策

df = 2, χ²_crit = 9.210

17.6 > 9.210

答案

χ² = 17.6

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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