描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在正态分布中，大约百分之多少的分数位于平均数上下一个标准差之内？
- A50%
- B68%
- C99.7%
- D95%
2.心理学研究方法困难
一项元分析综合了某种疗法的 40 项研究。为什么其总体效应量仍可能过大？
- A由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
- B综合多项研究总能消除所有偏差
- C元分析不能纳入随机对照试验
- D元分析得出的效应总是小于其所纳入的单项研究
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：58, 60, 50, 60, 16。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。数值高于 53.6 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 8x = 53.6
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.2, 0.25, 0.35
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.15 赢得 €8，以概率 0.05 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€8: p = 0.15€40: p = 0.05
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9768。求 z，保留两位小数。
A = 0.9768
z =
8.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 75%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 113.5，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 21x̄ = 113.5s = 19.599%t(20) = 2.845
下限 =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：19 块地，平均产量 72.5 kg，标准差 10 kg。地块组 2：12 块地，均值 61.5 kg，标准差 1 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 19x̄₁ = 72.5s₁ = 10n₂ = 12x̄₂ = 61.5s₂ = 195%t(29) = 2.045
E = kg
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 51.5 mm，该生产线的已知标准差为 12 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 44.6 mm，已知标准差为 13 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 80x̄₁ = 51.5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 60x̄₂ = 44.6 mmσ₂ = 13 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 8。求最小样本量 n。
σ = 8E = 1.599%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 100Σy = 255Σx² = 2090Σy² = 14125Σxy = 5412
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 5x = 3.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 11 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 11
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 68%
为什么是这个答案
约 68% 的分数落在 ±1 SD 之内，约 95% 落在 ±2 SD 之内，约 99.7% 落在 ±3 SD 之内。
答案
B · 68%
2.心理学研究方法
答案: A · 由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
为什么是这个答案
如果零结果较少被发表，合并效应就会被夸大。漏斗图和检索未发表数据有助于发现并减少这一问题。
答案
A · 由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
3.描述统计
答案: s = 18.79
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 244/5 = 48.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = 9.2² + 11.2² + 1.2² + 11.2² + (−32.8)² = 1413
标准差
s = √(1413/4) = 18.79
答案
s = 18.79
4.描述统计
答案: P = 0.7881
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.8
标准正态分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
答案
P = 0.7881
5.概率
答案: σ = 11.35
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.2 + 20·0.2 + 30·0.25 + 40·0.35 = 27.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.2 + 400·0.2 + 900·0.25 + 1600·0.35 = 885
方差
Var(X) = 885 − 27.5² = 128.8
σ = √128.8 = 11.35
答案
σ = 11.35
6.概率
答案: E(G) = 1.2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 6 (p = 0.15), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.8)
期望值
E(G) = 6·0.15 + 38·0.05 − 2·0.8 = 1.2 €
答案
E(G) = 1.2 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: z = 2.27
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9768)/2 = 0.9884
反向查 z 表
在表中找到 0.9884，读出 z。
z = 2.27
答案
z = 2.27
8.正态分布
答案: x = 110.1 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 100 + 0.6745·15 = 110.12 分
答案
x = 110.12 分
9.置信区间
答案: 下限 = 101.4
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.845
误差范围
E = 2.845·19.5/√21 = 12.11
区间
113.5 ± 12.11 → [101.4, 125.6]
答案
下限 = 101.4
10.置信区间
答案: E = 5.959 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (18·10² + 11·1²)/29 = 62.45
sp = 7.902
误差范围
E = 2.045·7.902·√(1/19 + 1/12) = 5.959
答案
E = 5.959 kg
11.假设检验与置信区间
答案: z = 3.211
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(12²/80 + 13²/60) = √4.617 = 2.149
检验统计量
z = (51.5 − 44.6)/2.149 = 3.211
答案
z = 3.211
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 189
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·8/1.5)² = 188.8
向上取整
n = 189
答案
n = 189
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9827
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 5412 − 100·255/5 = 312
Sxx = 2090 − 100²/5 = 90
Syy = 14125 − 255²/5 = 1120
相关系数
r = 312/√(90·1120) = 0.9827
答案
r = 0.9827
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 60.8
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 352/5 = 70.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
回归直线
b = 64/10 = 6.4
a = 70.4 − 6.4·5 = 38.4
ŷ = 38.4 + 6.4·x
预测
ŷ = 38.4 + 6.4·3.5 = 60.8
答案
ŷ = 60.8
15.卡方检验
答案: χ² = 3.407
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 40·24/160 = 6, 40·64/160 = 16, 40·72/160 = 18
农村: 120·24/160 = 18, 120·64/160 = 48, 120·72/160 = 54
卡方统计量
χ² = (7 − 6)²/6 + (20 − 16)²/16 + (13 − 18)²/18 + (17 − 18)²/18 + (44 − 48)²/48 + (59 − 54)²/54
χ² = 3.407
答案
χ² = 3.407
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 10
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 11 − 1 = 10
答案
df = 10
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