描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名研究者比较一个偏远小镇在电视出现前后儿童的攻击行为。电视的出现不受研究者控制。这是：
- A关于看电视的相关调查
- B自然实验
- C现场实验
- D实验室实验
2.心理学研究方法困难
因焦虑分数极高而被选中的患者，即使没有接受治疗，在第二次测验时分数也降低了。最可能的解释是什么？
- A向平均数回归
- B平衡抵消
- C天花板效应
- D霍桑效应
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：41, 21, 28, 27, 24。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。数值低于 182 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 8x = 182
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.35, 0.05, 0.35
Var(X) =
6.概率困难
一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 12p = 0.3k = 2
P =
7.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 62.5 和 67.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 62.5x2 = 67.5
P =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 70% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分70%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 99.5，标准差 s = 18。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 6x̄ = 99.5s = 1899%t(5) = 4.032
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 21。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 21E = 399%
n =
11.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：8 名学生，平均分 118，标准差 2.5。第 2 组：6 名学生，平均分 116.4，标准差 2。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 8x̄₁ = 118s₁ = 2.5n₂ = 6x̄₂ = 116.4s₂ = 2
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 8。实际上均值为 47.4。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 50μ = 47.4σ = 8n = 64α = 0.05
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (25.5, 115)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(25.5, 115)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 自然实验
为什么是这个答案
在自然实验中，自变量因研究者无法控制的事件而变化。生态效度高，但无法随机分配。
答案
B · 自然实验
2.心理学研究方法
答案: A · 向平均数回归
为什么是这个答案
当人们因极端分数而被选中时，测量误差和偶然因素使他们以后的分数倾向于向平均数靠拢。控制组有助于把这种现象与治疗效果区分开来。
答案
A · 向平均数回归
3.描述统计
答案: s = 7.662
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 141/5 = 28.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = 12.8² + (−7.2)² + (−0.2)² + (−1.2)² + (−4.2)² = 234.8
标准差
s = √(234.8/4) = 7.662
答案
s = 7.662
4.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
答案
P = 0.9332
5.概率
答案: Var(X) = 1.45
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 1·0.35 + 2·0.05 + 3·0.35 = 1.5
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.35 + 4·0.05 + 9·0.35 = 3.7
方差
Var(X) = 3.7 − 1.5² = 1.45
答案
Var(X) = 1.45
6.概率
答案: P = 0.1678
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 66·0.32·0.710 = 66·0.09·0.02825 = 0.1678
答案
P = 0.1678
7.正态分布
答案: P = 0.1974
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25
z₂ = (67.5 − 65)/10 = 0.25
中间面积
P = Φ(0.25) − Φ(−0.25) = 0.5987 − 0.4013 = 0.1974
答案
P = 0.1974
8.正态分布
答案: x = 70.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.7
由表得到的 z
z ≈ 0.52
回到原来的单位
x = 65 + 0.52·10 = 70.2 分
答案
x = 70.2 分
9.置信区间
答案: E = 29.63
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 4.032
误差范围
E = 4.032·18/√6 = 29.63
答案
E = 29.63
10.置信区间
答案: n = 326
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·21/3)² = 325.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 326
答案
n = 326
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.285
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (7·2.5² + 5·2²)/12 = 5.313
sp = 2.305
标准误
SE = 2.305·√(1/8 + 1/6) = 1.245
检验统计量
t = (118 − 116.4)/1.245 = 1.285
答案
t = 1.285
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 83.02 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 50 − 1.645·1 = 48.35
真实均值下的 z
z = (48.35 − 47.4)/1 = 0.955
功率
功效 = P(Z < 0.955) = 83.02%
1 − β = 83.02%
答案
1 − β = 83.02%
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9396
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 74/5 = 14.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
Syy = Σ(y − ȳ)² = 70.8
相关系数
r = −25/√(10·70.8) = −0.9396
答案
r = −0.9396
14.线性回归与相关
答案: e = 5.25
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 508/5 = 101.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 489
回归直线
b = 489/90 = 5.433
a = 101.6 − 5.433·24 = −28.8
ŷ = −28.8 + 5.433·x
预测值
ŷ = −28.8 + 5.433·25.5 = 109.8
残差
e = 115 − 109.8 = 5.25
答案
e = 5.25
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 5.934
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 40·78/120 = 26, 40·42/120 = 14
女性: 80·78/120 = 52, 80·42/120 = 28
卡方统计量
χ² = (20 − 26)²/26 + (20 − 14)²/14 + (58 − 52)²/52 + (22 − 28)²/28
χ² = 5.934
答案
χ² = 5.934
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 12.59
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6
表
χ²crit(df = 6, α = 0.05) = 12.592
答案
χ²crit = 12.592
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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