描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
内部效度指的是：
- A研究结果能否推广到该研究之外的其他总体、情境和时间
- B测验在不同时间是否给出相同结果
- C参与者是否觉得研究有趣
- D观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
2.心理学研究方法困难
解释现象学分析（IPA）的主要目的是：
- A用大样本检验因果假设
- B探究个体如何理解自己的亲身经历
- C准确测量反应时
- D统计文本中单词出现的频率
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：14, 26, 11, 56, 12。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。数值低于 85 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 10x = 85
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 2
P =
6.概率困难
一份测试有 10 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.25k = 5
P =
7.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 482 和 542 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 482x2 = 542
P =
8.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
9.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 102.5，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 21x̄ = 102.5s = 495%t(20) = 2.086
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 27。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 27E = 295%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 63 mm，该生产线的已知标准差为 17 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 57.4 mm，已知标准差为 3 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 50x̄₁ = 63 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 80x̄₂ = 57.4 mmσ₂ = 3 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 68.1。总体标准差为 15。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 68.1σ = 15n = 2595%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 90Σy = 497Σx² = 1660Σy² = 51091Σxy = 9202
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 17？
n = 6ŷ = 17
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2603 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
为什么是这个答案
内部效度高意味着已排除其他解释，如混淆变量、需求特征或实验者偏差。外部效度则涉及推广性。
答案
D · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
2.心理学研究方法
答案: B · 探究个体如何理解自己的亲身经历
为什么是这个答案
IPA 深入研究小规模、同质的样本，考察参与者如何解释重要经历，研究者再对他们的意义建构进行解释。
答案
B · 探究个体如何理解自己的亲身经历
3.描述统计
答案: s = 18.98
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 119/5 = 23.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−9.8)² + 2.2² + (−12.8)² + 32.2² + (−11.8)² = 1441
标准差
s = √(1441/4) = 18.98
答案
s = 18.98
4.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答案
P = 0.06681
5.概率
答案: P = 0.3056
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
答案
P = 0.3056
6.概率
答案: P = 0.0584
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 5) = 252·0.255·0.755 = 252·0.0009766·0.2373 = 0.0584
答案
P = 0.0584
7.正态分布
答案: P = 0.5268
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (482 − 500)/40 = −0.45
z₂ = (542 − 500)/40 = 1.05
中间面积
P = Φ(1.05) − Φ(−0.45) = 0.8531 − 0.3264 = 0.5268
答案
P = 0.5268
8.正态分布
答案: x = 182.7 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm
答案
x = 182.7 cm
9.置信区间
答案: E = 1.821
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.086
误差范围
E = 2.086·4/√21 = 1.821
答案
E = 1.821
10.置信区间
答案: n = 701
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·27/2)² = 700.1
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 701
答案
n = 701
11.假设检验与置信区间
答案: z = 2.307
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(17²/50 + 3²/80) = √5.892 = 2.427
检验统计量
z = (63 − 57.4)/2.427 = 2.307
答案
z = 2.307
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 62.22
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·15/√25 = 5.88
区间端点
L = 68.1 − 5.88 = 62.22
答案
L = 62.22
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9848
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 9202 − 90·497/5 = 256
Sxx = 1660 − 90²/5 = 40
Syy = 51091 − 497²/5 = 1689
相关系数
r = 256/√(40·1689) = 0.9848
答案
r = 0.9848
14.线性回归与相关
答案: x = 3.802
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 108/6 = 18
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −58
回归直线
b = −58/17.5 = −3.314
a = 18 − (−3.314)·3.5 = 29.6
ŷ = 29.6 − 3.314·x
解出 x
x = (17 − 29.6)/(−3.314) = 3.802
答案
x = 3.802
15.卡方检验
答案: χ² = 0.6667
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 40·42/140 = 12, 40·98/140 = 28
不吸烟者: 100·42/140 = 30, 100·98/140 = 70
卡方统计量
χ² = (14 − 12)²/12 + (26 − 28)²/28 + (28 − 30)²/30 + (72 − 70)²/70
χ² = 0.6667
答案
χ² = 0.6667
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 0.29
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 40, 40
工厂 B: 50, 50
工厂 C: 40, 40
卡方统计量
χ² = (39 − 40)²/40 + (41 − 40)²/40 + (49 − 50)²/50 + (51 − 50)²/50 + (42 − 40)²/40 + (38 − 40)²/40
χ² = 0.29
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
0.29 < 5.991
答案
χ² = 0.29
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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