描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
内部效度指的是：
- A观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
- B研究结果能否推广到该研究之外的其他总体、情境和时间
- C参与者是否觉得研究有趣
- D测验在不同时间是否给出相同结果
2.心理学研究方法困难
一个自评量表发现，同意很多陈述的人不论内容如何都会得高分。这是哪种反应偏差？如何减少？
- A社会赞许性偏差；使用更大的样本
- B默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
- C顺序效应；对参与者进行平衡抵消
- D需求特征；使用双盲设计
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：11, 60, 33, 33, 32。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。数值低于 55 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 10x = 55
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.2, 0.2, 0.35
σ =
6.概率困难
一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.3k = 1
P =
7.正态分布中等
X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 110.1 s 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 110.1 s
P =
8.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 75% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h75%
x = h
9.置信区间中等
基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 7.9。 基于 200 个观测值的 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 50E₁ = 7.990%n₂ = 200
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 7。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 7E = 195%
n =
11.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 130.5，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 130.5s = 20n = 16
t =
12.假设检验与置信区间困难
49 次测量的样本均值为 55.4。总体标准差为 20。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 55.4σ = 20n = 4995%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 17)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(5, 17)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2203 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
为什么是这个答案
内部效度高意味着已排除其他解释，如混淆变量、需求特征或实验者偏差。外部效度则涉及推广性。
答案
A · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
2.心理学研究方法
答案: B · 默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
为什么是这个答案
默认偏差是一种倾向于同意题目的倾向。混合正向和反向措辞的题目，意味着对一切都表示同意不再会产生极端分数。
答案
B · 默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
3.描述统计
答案: s = 17.4
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 169/5 = 33.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−22.8)² + 26.2² + (−0.8)² + (−0.8)² + (−1.8)² = 1211
标准差
s = √(1211/4) = 17.4
答案
s = 17.4
4.描述统计
答案: P = 0.3085
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085
答案
P = 0.3085
5.概率
答案: σ = 1.195
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.2 + 4·0.35 = 2.65
平方的均值
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.2 + 16·0.35 = 8.45
方差
Var(X) = 8.45 − 2.65² = 1.427
σ = √1.427 = 1.195
答案
σ = 1.195
6.概率
答案: P = 0.1556
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 9·0.31·0.78 = 9·0.3·0.05765 = 0.1556
答案
P = 0.1556
7.正态分布
答案: P = 0.2119
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
标准化
z = (110.1 − 105)/6.403 = 0.8
上尾
P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119
答案
P = 0.2119
8.正态分布
答案: x = 473 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.25
由表得到的 z
z ≈ −0.67
回到原来的单位
x = 500 − 0.67·40 = 473 h
答案
x = 473 h
9.置信区间
答案: E₂ = 2.522
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(50/200) = 0.3193
新的误差范围
E₂ = 7.9·0.3193 = 2.522
答案
E₂ = 2.522
10.置信区间
答案: n = 189
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·7/1)² = 188.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 189
答案
n = 189
11.假设检验与置信区间
答案: t = 2.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
检验统计量
t = (130.5 − 120)/5 = 2.1
答案
t = 2.1
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 61
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·20/√49 = 5.6
区间端点
U = 55.4 + 5.6 = 61
答案
U = 61
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.8935
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 323/6 = 53.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 282.8
决定系数
r² = 66.5²/(17.5·282.8) = 0.8935
答案
r² = 0.8935
y 的变异中约有 89.35% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = 5.45
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 63/5 = 12.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42
回归直线
b = 42/40 = 1.05
a = 12.6 − 1.05·6 = 6.3
ŷ = 6.3 + 1.05·x
预测值
ŷ = 6.3 + 1.05·5 = 11.55
残差
e = 17 − 11.55 = 5.45
答案
e = 5.45
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 17.62
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 120·27/180 = 18, 120·72/180 = 48, 120·81/180 = 54
农村: 60·27/180 = 9, 60·72/180 = 24, 60·81/180 = 27
卡方统计量
χ² = (20 − 18)²/18 + (59 − 48)²/48 + (41 − 54)²/54 + (7 − 9)²/9 + (13 − 24)²/24 + (40 − 27)²/27
χ² = 17.62
答案
χ² = 17.62
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 18.5
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 12, 28
31–50 岁: 30, 70
51 岁及以上: 24, 56
卡方统计量
χ² = (15 − 12)²/12 + (25 − 28)²/28 + (41 − 30)²/30 + (59 − 70)²/70 + (10 − 24)²/24 + (70 − 56)²/56
χ² = 18.5
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
18.5 > 5.991
答案
χ² = 18.5
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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