心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

最直接减少实验者偏差的方法是：

A只使用志愿者
B由不知道假设或条件的研究者收集数据
C使用更大的样本
D使用单侧假设

2.心理学研究方法困难

在定性研究中，反身性（reflexivity）是指研究者：

A使用随机样本以消除偏差
B反思自己的背景和假设可能如何影响分析
C把主题转换为数值数据
D重复研究以检验信度

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：57, 33, 14, 57, 42, 52, 49。

n = 7

s =

4.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。求成绩 82 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 20x = 82

z =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.15, 0.3, 0.25, 0.3

σ =

6.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 2X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 2X + 5

σ_Y =

7.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 199.5 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.5 mm

P =

8.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 20% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分20%

x = 分

9.置信区间中等

基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 11.8。用同样的数据计算 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

95%n₁ = 25E₁ = 11.899%

E₂ =

10.置信区间困难

总体标准差为 27。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 27E = 390%

n =

11.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 119.6，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 119.6s = 4n = 81

t =

12.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 14。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 90%δ = 2.5σ = 14z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

13.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 48Σy = 499Σx² = 454Σy² = 42847Σxy = 4291

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 7 时的 ŷ。

n = 5x = 7

ŷ =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 2202 × 2

χ² =

16.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2203 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: B · 由不知道假设或条件的研究者收集数据

为什么是这个答案

知道假设的实验者可能无意中影响参与者或记录。单盲或双盲程序以及标准化指导语可以减少这种偏差。

答案

B · 由不知道假设或条件的研究者收集数据

2.心理学研究方法

答案: B · 反思自己的背景和假设可能如何影响分析

为什么是这个答案

反身性承认研究者对数据收集和解释的影响，是定性研究的一项关键质量标准。

答案

B · 反思自己的背景和假设可能如何影响分析

3.描述统计

答案: s = 15.54

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 304/7 = 43.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = 13.57² + (−10.43)² + (−29.43)² + 13.57² + (−1.429)² + 8.571² + 5.571² = 1450

标准差

s = √(1450/6) = 15.54

答案

s = 15.54

4.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (82 − 70)/20 = 0.6

答案

z = 0.6

5.概率

答案: σ = 1.054

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.15 + 1·0.3 + 2·0.25 + 3·0.3 = 1.7

平方的均值

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.3 + 4·0.25 + 9·0.3 = 4

方差

Var(X) = 4 − 1.7² = 1.11

σ = √1.11 = 1.054

答案

σ = 1.054

6.概率

答案: σ_Y = 1.673

X 的离散程度

μ = 1, Var(X) = 0.7, σ_X = 0.8367

线性变换

σ_Y = |2|·0.8367 = 1.673

答案

σ_Y = 1.673

均值确实会改变：E(Y) = 2·1 + 5 = 7。

7.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (199.5 − 200)/0.5 = −1

上尾

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

答案

P = 0.8413

8.正态分布

答案: x = 73.4 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.8

由表得到的 z

z ≈ 0.84

回到原来的单位

x = 65 + 0.84·10 = 73.4 分

答案

x = 73.4 分

9.置信区间

答案: E₂ = 15.51

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(25/25) = 1.314

新的误差范围

E₂ = 11.8·1.314 = 15.51

答案

E₂ = 15.51

10.置信区间

答案: n = 220

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·27/3)² = 219.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 220

答案

n = 220

11.假设检验与置信区间

答案: t = −0.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

检验统计量

t = (119.6 − 120)/0.4444 = −0.9

答案

t = −0.9

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

12.假设检验与置信区间

答案: n = 409

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.282)·14/2.5)² = 408.2

向上取整

n = 409

答案

n = 409

13.线性回归与相关

答案: r = 0.9738

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 4291 − 48·499/6 = 299

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 42847 − 499²/6 = 1347

答案

r = 0.9738

14.线性回归与相关

答案: ŷ = 9.95

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 43/5 = 8.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

回归直线

b = 54/40 = 1.35

a = 8.6 − 1.35·6 = 0.5

ŷ = 0.5 + 1.35·x

预测

ŷ = 0.5 + 1.35·7 = 9.95

答案

ŷ = 9.95

15.卡方检验

答案: χ² = 0.7857

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

吸烟者: 100·66/220 = 30, 100·154/220 = 70

不吸烟者: 120·66/220 = 36, 120·154/220 = 84

卡方统计量

χ² = (33 − 30)²/30 + (67 − 70)²/70 + (33 − 36)²/36 + (87 − 84)²/84

χ² = 0.7857

答案

χ² = 0.7857

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ² = 10.11

期望频数

18–30 岁: 40, 60

31–50 岁: 24, 36

51 岁及以上: 24, 36

卡方统计量

χ² = (39 − 40)²/40 + (61 − 60)²/60 + (16 − 24)²/24 + (44 − 36)²/36 + (33 − 24)²/24 + (27 − 36)²/36

χ² = 10.11

决策

df = 2, χ²_crit = 9.210

10.11 > 9.210

答案

χ² = 10.11

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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