描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
为什么在收集数据之前要对观察中的行为类别进行操作化？
- A使观察变成实验
- B以便在看到数据后修改假设
- C让参与者确切知道哪些行为被记录
- D使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
2.心理学研究方法困难
在用学习时间和睡眠预测考试成绩的多元回归中，R² = 0.36。这是什么意思？
- A预测变量之间的相关为 0.36
- B36% 的学生通过了考试
- C这些预测变量共同解释了考试成绩 36% 的方差
- D学习时间造成了 36% 的考试成功
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：43, 40, 47, 42, 27, 43, 18。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。数值高于 48 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 12x = 48
P =
5.概率中等
袋中有 8 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
8 / 8
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 5X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 5X + 10
σY =
7.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 55 和 70 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 55x2 = 70
P =
8.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h25%
x = h
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 121.5 h，已知标准差 17 h。型号 2：40 部手机，均值 126.5 h，已知标准差 20 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 100x̄₁ = 121.5 hσ₁ = 17 hn₂ = 40x̄₂ = 126.5 hσ₂ = 20 h95%
上限 = h
10.置信区间困难
总体标准差为 21。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 21E = 490%
n =
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 487.6，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 487.6s = 20n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 20。求最小样本量 n。
σ = 20E = 395%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 6x = 3.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 4 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
为什么是这个答案
清晰、可观察的类别（例如"用张开的手打人"）减少主观判断，提高观察者间信度。
答案
D · 使观察者一致地记录相同的行为，提高信度
2.心理学研究方法
答案: C · 这些预测变量共同解释了考试成绩 36% 的方差
为什么是这个答案
R² 显示结果变量的变异中有多少可以由所有预测变量共同解释。它并不能确立因果关系。
答案
C · 这些预测变量共同解释了考试成绩 36% 的方差
3.描述统计
答案: s = 10.54
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 260/7 = 37.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = 5.857² + 2.857² + 9.857² + 4.857² + (−10.14)² + 5.857² + (−19.14)² = 666.9
标准差
s = √(666.9/6) = 10.54
答案
s = 10.54
4.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
5.概率
答案: P = 0.2333
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0.2333
答案
P = 0.2333
6.概率
答案: σY = 4.183
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1, Var(X) = 0.7, σX = 0.8367
线性变换
σY = |5|·0.8367 = 4.183
答案
σY = 4.183
均值确实会改变：E(Y) = 5·1 + 10 = 15。
7.正态分布
答案: P = 0.5328
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (55 − 65)/10 = −1
z₂ = (70 − 65)/10 = 0.5
中间面积
P = Φ(0.5) − Φ(−1) = 0.6915 − 0.1587 = 0.5328
答案
P = 0.5328
8.正态分布
答案: x = 527 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 500 + 0.67·40 = 527 h
答案
x = 527 h
9.置信区间
答案: 上限 = 2.037 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 121.5 − 126.5 = −5
标准误
SE = √(17²/100 + 20²/40) = 3.59
误差范围
E = 1.96·3.59 = 7.037
区间
−5 ± 7.037 → [−12.04, 2.037]
答案
上限 = 2.037 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
10.置信区间
答案: n = 75
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·21/4)² = 74.58
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 75
答案
n = 75
11.假设检验与置信区间
答案: t = −3.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
检验统计量
t = (487.6 − 500)/4 = −3.1
答案
t = −3.1
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 171
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·20/3)² = 170.7
向上取整
n = 171
答案
n = 171
13.线性回归与相关
答案: r = 0.98
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 170/5 = 34
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Syy = Σ(y − ȳ)² = 230
相关系数
r = 94/√(40·230) = 0.98
答案
r = 0.98
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 17.67
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 106/6 = 17.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48
回归直线
b = −48/17.5 = −2.743
a = 17.67 − (−2.743)·3.5 = 27.27
ŷ = 27.27 − 2.743·x
预测
ŷ = 27.27 + (−2.743)·3.5 = 17.67
答案
ŷ = 17.67
15.卡方检验
答案: χ² = 0.6667
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 120·99/220 = 54, 120·121/220 = 66
安慰剂: 100·99/220 = 45, 100·121/220 = 55
卡方统计量
χ² = (57 − 54)²/54 + (63 − 66)²/66 + (42 − 45)²/45 + (58 − 55)²/55
χ² = 0.6667
答案
χ² = 0.6667
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 5.991
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 − 1 = 2
表
χ²crit(df = 2, α = 0.05) = 5.991
答案
χ²crit = 5.991
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology