描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项研究进行了预注册。这意味着：
- A参与者在网上登记同意
- B该研究已经发表
- C在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
- D结果在发表前由第二位独立的统计学家核查并批准
2.心理学研究方法困难
在扎根理论中，数据收集持续到什么时候？
- A至少访谈了 1,000 名参与者
- B达到理论饱和，新数据不再产生新的类别
- C获得低于 0.05 的 p 值
- D原假设得到证实
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：27, 34, 59, 43, 37。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。数值高于 410 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 60x = 410
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.3, 0.15, 0.25
σ =
6.概率困难
测试 8 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.7
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9729。求 z，保留两位小数。
A = 0.9729
z =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 127.5 h，已知标准差 15 h。型号 2：60 部手机，均值 127 h，已知标准差 4 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。
n₁ = 80x̄₁ = 127.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 60x̄₂ = 127 hσ₂ = 4 h99%
上限 = h
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.02？
p = 0.5E = 0.0295%
n =
11.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 49.02，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 49.02s = 4n = 81
t =
12.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 120.3。总体标准差为 5。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 120.3σ = 5n = 10099%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (9, 106)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(9, 106)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“城市，高”的期望频数 E。
行合计 = 76列合计 = 74N = 170
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 7 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 7
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
为什么是这个答案
预注册把验证性分析与探索性分析区分开来，减少 p 值操纵（p-hacking）和事后提出假设（HARKing）等做法。
答案
C · 在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
2.心理学研究方法
答案: B · 达到理论饱和，新数据不再产生新的类别
为什么是这个答案
扎根理论以归纳方式发展理论，同时收集和编码数据，当新数据不再发展类别时就停止抽样。
答案
B · 达到理论饱和，新数据不再产生新的类别
3.描述统计
答案: s = 12.08
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 200/5 = 40
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−13)² + (−6)² + 19² + 3² + (−3)² = 584
标准差
s = √(584/4) = 12.08
答案
s = 12.08
4.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
答案
P = 0.9332
5.概率
答案: σ = 1.152
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.3 + 2·0.3 + 3·0.15 + 4·0.25 = 2.35
平方的均值
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.3 + 9·0.15 + 16·0.25 = 6.85
方差
Var(X) = 6.85 − 2.35² = 1.328
σ = √1.328 = 1.152
答案
σ = 1.152
6.概率
答案: P = 0.00129
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.38 = 6.561 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 8·0.7·0.37 = 0.001225
相加
P = 6.561 × 10⁻⁵ + 0.001225 = 0.00129
答案
P = 0.00129
7.正态分布
答案: z = 2.21
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9729)/2 = 0.9864
反向查 z 表
在表中找到 0.9864，读出 z。
z = 2.21
答案
z = 2.21
8.正态分布
答案: P = 0.9207
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02828 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.02828 = −1.41
概率
P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207
答案
P = 0.9207
9.置信区间
答案: 上限 = 5.02 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 127.5 − 127 = 0.5
标准误
SE = √(15²/80 + 4²/60) = 1.755
误差范围
E = 2.576·1.755 = 4.52
区间
0.5 ± 4.52 → [−4.02, 5.02]
答案
上限 = 5.02 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
10.置信区间
答案: n = 2401
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.02² = 2401
向上取整
n = 2401
答案
n = 2401
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.205
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444
检验统计量
t = (49.02 − 50)/0.4444 = −2.205
答案
t = −2.205
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 119
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·5/√100 = 1.288
区间端点
L = 120.3 − 1.288 = 119
答案
L = 119
13.线性回归与相关
答案: r = 0.988
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 89/5 = 17.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Syy = Σ(y − ȳ)² = 432.8
相关系数
r = 130/√(40·432.8) = 0.988
答案
r = 0.988
14.线性回归与相关
答案: e = 3.45
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 428/5 = 85.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226
回归直线
b = 226/40 = 5.65
a = 85.6 − 5.65·6 = 51.7
ŷ = 51.7 + 5.65·x
预测值
ŷ = 51.7 + 5.65·9 = 102.5
残差
e = 106 − 102.5 = 3.45
答案
e = 3.45
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: E = 33.08
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 76·74/170 = 33.08
答案
E = 33.08
16.卡方检验
答案: df = 6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 7 − 1 = 6
答案
df = 6
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