描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项测验太容易，几乎所有参与者的得分都接近满分。这称为：
- A练习效应
- B顺序效应
- C天花板效应
- D地板效应
2.心理学研究方法困难
研究者比较三个或更多组的平均数。为什么用单因素方差分析而不是做多次 t 检验？
- A方差分析总是比相应的一组 t 检验发现更大的效应
- Bt 检验需要质性数据
- Ct 检验无法处理大于 100 的数字
- D多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：54, 53, 49, 37, 37, 32, 23。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。数值高于 174.8 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 8x = 174.8
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.15, 0.05, 0.3, 0.2
σ =
6.概率困难
测试 9 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.1
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1736。求 z，保留两位小数。
A = 0.1736
z =
8.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 20%
x = cm
9.置信区间中等
基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 11.4。 用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 25E₁ = 11.495%
E₂ =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：9 块地，平均产量 54.5 kg，标准差 1.5 kg。地块组 2：17 块地，均值 56.5 kg，标准差 2.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 9x̄₁ = 54.5s₁ = 1.5n₂ = 17x̄₂ = 56.5s₂ = 2.595%t(24) = 2.064
E = kg
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 47.84，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 47.84s = 12n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 2 个单位的偏移。标准差为 17。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 80%δ = 2σ = 17zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 389Σx² = 91Σy² = 25653Σxy = 1444
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (10, 73)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(10, 73)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 6 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
2 × 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 天花板效应
为什么是这个答案
天花板效应掩盖了各条件之间的差异，因为没有人能得更高的分。地板效应则相反，出现在任务太难时。
答案
C · 天花板效应
2.心理学研究方法
答案: D · 多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
为什么是这个答案
做许多两两比较会成倍增加假阳性的机会。方差分析同时检验所有组，之后再进行经过校正的事后检验。
答案
D · 多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
3.描述统计
答案: s = 11.64
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 285/7 = 40.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = 13.29² + 12.29² + 8.286² + (−3.714)² + (−3.714)² + (−8.714)² + (−17.71)² = 813.4
标准差
s = √(813.4/6) = 11.64
答案
s = 11.64
4.描述统计
答案: P = 0.2743
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
答案
P = 0.2743
5.概率
答案: σ = 1.564
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.15 + 2·0.05 + 3·0.3 + 4·0.2 = 1.95
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.15 + 4·0.05 + 9·0.3 + 16·0.2 = 6.25
方差
Var(X) = 6.25 − 1.95² = 2.448
σ = √2.448 = 1.564
答案
σ = 1.564
6.概率
答案: P = 0.7748
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.99 = 0.3874
P(X = 1) = 9·0.1·0.98 = 0.3874
相加
P = 0.3874 + 0.3874 = 0.7748
答案
P = 0.7748
7.正态分布
答案: z = 0.94
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.1736 = 0.8264
反向查 z 表
在表中找到 0.8264，读出 z。
z = 0.94
答案
z = 0.94
8.正态分布
答案: x = 172.1 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 178 + −0.8416·7 = 172.11 cm
答案
x = 172.11 cm
9.置信区间
答案: E₂ = 8.674
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(25/25) = 0.7609
新的误差范围
E₂ = 11.4·0.7609 = 8.674
答案
E₂ = 8.674
10.置信区间
答案: E = 1.887 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (8·1.5² + 16·2.5²)/24 = 4.917
sp = 2.217
误差范围
E = 2.064·2.217·√(1/9 + 1/17) = 1.887
答案
E = 1.887 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√25 = 12/5 = 2.4
检验统计量
t = (47.84 − 50)/2.4 = −0.9
答案
t = −0.9
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 447
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 0.842)·17/2)² = 446.9
向上取整
n = 447
答案
n = 447
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9479
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1444 − 21·389/6 = 82.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 25653 − 389²/6 = 432.8
相关系数
r = 82.5/√(17.5·432.8) = 0.9479
答案
r = 0.9479
14.线性回归与相关
答案: e = −3.45
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 299/5 = 59.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 222
回归直线
b = 222/40 = 5.55
a = 59.8 − 5.55·7 = 20.95
ŷ = 20.95 + 5.55·x
预测值
ŷ = 20.95 + 5.55·10 = 76.45
残差
e = 73 − 76.45 = −3.45
答案
e = −3.45
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: χ² = 1.385
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 40·49/140 = 14, 40·91/140 = 26
不吸烟者: 100·49/140 = 35, 100·91/140 = 65
卡方统计量
χ² = (17 − 14)²/14 + (23 − 26)²/26 + (32 − 35)²/35 + (68 − 65)²/65
χ² = 1.385
答案
χ² = 1.385
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 5
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
答案
df = 5
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